线性代数的本质(5)——行列式

打破认知观的一节，之前学习行列式都是从逆序数开始学起，学习行列式的性质，做大量计算练习，这里直接告诉我们行列式的值代表面积/体积，建立了与矩阵、线性变换的联系，真的是一语惊醒梦中人！

5.0 总结

(1)行列式的意义

• 单位面积/单位体积缩放或者拉升的比例
• 线性变换对空间压缩或者拉升的比例

线性变换会对空间进行挤压或者拉伸，我们通过追踪空间基向量的变换，来查看单位面积(二维)/单位体积(三维)的面积或者体积缩放比例，而这个缩放比例，对应的就是行列式的值。

• 二维空间中行列式的值表示平行四边形的面积， 三维空间中行列式的值表示平行六面体的体积
  

(2)我们就建立了线性变换、矩阵、行列式之间的关系。

(3)行列式值为0 表示将空间压缩到更低的维度

(4) 矩阵的列向量线性相关行列式的值0

 

 

5.1 二维空间的行列式

A.行列式的意义

在线性变换的时候，有的线性变换起到空间挤压的作用，有的线性变换起到了空间拉伸的作用，那么测量变换到底对空间拉伸或者挤压了多少。 我们可以追踪变换后基向量的面积大小。从这个层面上，建立了 “矩阵与行列式之间的关系”。

行列式的意义--面积的缩放发小

首先我们看一下剪切变换带来的面积变化？经过计算可得，剪切变换不仅带来了空间的挤压，而且保持面积不变。(如下图)

 

 

剪切变换面积保持不变

我们只要追踪基向量构成的单位面积的变化，因为其他区域面积变化的比例大小与单位面积变化的比例保持一致，这样就可以知道空间中任意区域面积变化的比例，这是因为线性变换保持“网格线平行且等距变换”。

任意平行区域的面积缩放比例--线性变换的性质相关

对于空间中任意区域的面积，借助微积分的思想，我们可以采用足够小方格来逼近区域的面积。

 

 

不规则区域面积求解

B.行列式值为0表示把空间挤压为一条直线或者一个点。

只要检验行列式的值是否为0，就能够判断线性变换是否将空间挤压到更小的维度。

• 线性变换将空间挤压为一条直线

挤压为一条直线

• 线性变换将空间挤压为一个点

挤压为一个点

C.行列式的值为负代表什么？

我们采用基向量来描述：

• 初始状态，向量在向量的左侧
• 经过变换，向量在向量的右侧

这样的结果就是空间取向发生了变换，即将整个空间翻转了一遍。（如下图）

为什么负值与空间取向有关?

以二维空间为例，基向量保持不变，基向量 逆时针逐渐靠近

• 在与重合前，空间压缩越来越严重，意味着行列式的值逐渐趋近于0，
• 当在与重合时，行列式的值为0；
• 继续按照这个方向移动，这样行列式的值继续减小为负值。

5.2 三维空间的行列式

A.行列式的意义

三维空间中行列式的值代表着体积的缩放比例，我们关注的是单位立方体进行线性变换后的体积变化，对应行列式的值表示对应平行六面体的体积。

 

 

行列式为0，意味着空间被压缩为一个平面、一条直线、甚至是一个点。

矩阵线性相关 行列式的值0 ；

B.三维空间行列式的值为负代表什么？

三维空间坐标系我们默认采用右手法则，（食指表示 ,中指表示 ,拇指表示 ）

 

 

右手法则

当空间变换后，仍然采用（食指表示，中指表示，拇指表示 ），这时候就只能用左手法则表示，这就意味着空间取向发生了翻转，行列式的值为负。

5.3 行列式计算的直观理解

这个公式直观的理解就是：

，表示底为,高为的平行四边形的面积

 

 

,仍然表示底为 ,高为 的平行四边形的面积

 

 

当行列式斜对角线的元素及 均不为0时，bc项就会告诉平行四变形在对角方向拉伸或者压缩了多少，bc项代表的含义如下图：

 

 

可以看出，行列式的值与面积有着紧密的联系。

5.4 行列式的运算规律

用计算行列式的值来解释等式为什么成立会比较繁琐，我们采用行列式的几何意义来解释将会比较简单：

• 等式右边：先经过变换，将面积缩放倍，然后经过变换，将面积再次缩放倍
• 等式左边：经过变换一次性进行、 后，整体面积缩放的比例为

显然两者变换的方式是等价的，带来的面积缩放比例也是一致的，因此等式左右两边成立。

5.5 总结

(1)行列式的意义

• 单位面积/单位体积缩放或者拉升的比例
• 线性变换对空间压缩或者拉升的比例

线性变换会对空间进行挤压或者拉伸，我们通过追踪空间基向量的变换，来查看单位面积(二维)/单位体积(三维)的面积或者体积缩放比例，而这个缩放比例，对应的就是行列式的值。

• 二维空间中行列式的值表示平行四边形的面积， 三维空间中行列式的值表示平行六面体的体积

(2)我们就建立了线性变换、矩阵、行列式之间的关系。

(3)行列式值为0 表示将空间压缩到更低的维度

(4) 矩阵的列向量线性相关行列式的值0