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线性代数的本质(4)——矩阵乘法与复合变换

4.1 复合变换

在矩阵与线性变换这一节内容中，我们知道了矩阵与线性变换中的对应关系，试想一下，矩阵求逆，其实也是一种变换，就是将变换后的基向量还原为初始态。

ok，做了一次变换之后仍然想做变换，如先将整个平面逆时针旋转90度再做剪切变换，会发生什么？这样从头到尾的总体作用效果就是进行另外一个线性变换。我们将这个新的变换称为两个独立变换的“复合变换”。

此时这个矩阵捕捉到了逆时针旋转+剪切的总体效应，该矩阵就是一个单独的作用，而不是两个顺序作用的合成。无论选择什么向量，采用先旋转后剪切变换&对应的符合变换后的作用效果是一致的，我们用数值的方式进行表达如下：

可以得出：两个矩阵相乘，可以表示就是两个线性变换相继作用，需要注意的是，线性变换的作用顺序是从右向左

这样类似复合函数 $f(g(x))$ ,也是从里向外读。

4.2 计算复合矩阵

（一）特例

我们同样可以采用追踪基向量的落脚点来描述及计算这个“复合变换”。

就需要我们计算出基向量 $\vec{i},\vec{j}$ 变换后的位置是什么？首先M1表示基向量经过变换后的位置。

基向量 $\vec{i}\rightarrow\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ,然后经过 $M_2$ 的变换后落在了什么位置？

基向量 $\vec{j}\rightarrow\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}$ ,然后经过 $M_2$ 的变换后落在了什么位置？

因此：

$\underbrace{\begin{bmatrix} 0&2 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{M_2}\underbrace{\begin{bmatrix} 1&-2 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{M_1}=\begin{bmatrix} 2&0\\ 1&-2 \end{bmatrix}$

这个方法具有普适性

（二）一般化计算复合矩阵

$\xrightarrow[]{A和B}\underbrace{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}}_{M_2}\underbrace{\begin{bmatrix} e&f \\ g&h \end{bmatrix}}_{M_1}=\begin{bmatrix} ea+gb&af+bh\\ec+gd & cf+dh \end{bmatrix}$

4.3复合运算的运算规律

（一）复合运算不满足交换律，一般地， $M_2M_1\not= M_1M_2$

eg:

$\underbrace{\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}}_{\text{剪切矩阵}}\underbrace{\begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{\text{旋转矩阵}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{\text{复合矩阵}}$

$\underbrace{\begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{\text{旋转矩阵}}\underbrace{\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}}_{\text{剪切矩阵}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&1 \end{bmatrix}}_{\text{复合矩阵}}$

（二）复合运算满足结合率，

一般地， $(AB)C=A(BC)$

从数值角度证明非常麻烦，如果我们从变换的角度来证明则变得非常显然：

$A(BC)$ ,变换的作用顺序：首先应用C变换和B变换，然后应用A变换

$(AB)C$ ,变换的作用顺序：先应用C变换，然后应用B变换和A变换

4.4 三维空间中的复合变换

同样我们只需要追踪基向量变换后的位置即可。同样地，三维空间中的变换由基向量 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 的落脚点完全决定,仅仅用9个数字就可以完全描述这个线性变换。对于任意向量做线性变换，仍然体现的是向量的“缩放”思想及向量相加。

$\underbrace{\begin{bmatrix} a&b &c\\ d&e&f\\g&h&k \end{bmatrix}}_{线性变换}\overbrace{\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}}^{输入向量}=\underbrace{x\begin{bmatrix} a\\d\\g \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} b\\e\\h \end{bmatrix}+z\begin{bmatrix} c\\f\\k \end{bmatrix}}_{输出向量}$

类似这样的变换

$\underbrace{\begin{bmatrix} a&b &c\\ d&e&f\\g&h&k \end{bmatrix}}_{第二个变换}\overbrace{\begin{bmatrix} x&o&r \\y&p&s\\z&q&t \end{bmatrix}}^{第一个变换}$ ，在计算机图像处理、机器人学中有这非常重要的作用。