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傅里叶级数

傅里叶级数和傅里叶变换对于通讯、电子和数学专业的同学来说应该是很熟悉的，博主计科专业，没有接触过这部分内容，只有在高数无穷级数中了解了一些相关内容，这篇博客主要还是围绕考研数学的知识点来归纳总结一下傅里叶级数的问题。B站一位up主是控制方面的博士，开设了傅里叶级数和变换的专栏，短小精悍，个人觉得前三节和同济高等数学教程很切合，值得一听！

同时推荐一篇关于傅里叶分析的一篇通俗易懂的文章，知乎三万赞，不需要数学基础就能看懂

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

一、三角函数系的正交性

二、收敛性定理

三、周期为2π的傅里叶级数展开

设周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积或绝对可积，由Euler-Fourier公式可求出Fourier系数：

$a_n=\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx{\rm d}x},{\quad}n=0,1,2,···$

$b_n=\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx{\rm d}x},{\quad}n=1,2,3,···$

记：

$\begin{equation*} f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty{(a_n\cos nx+b_n\sin nx)} \end{equation*}$

右端的三角级数称为 $f(x)$ 的Fourier级数。

正弦级数和余弦级数

1.若 $f(x)$ 是奇函数，则显然 $a_n=0$ ，且：

$b_n=\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx{\rm d}x}=\frac{2}{\pi}{\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx{\rm d}x},{\quad}n=1,2,3,···$

这时， $\begin{equation*} f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty{b_n\sin nx} \end{equation*}$ ，称形如 $\sum_{n=1}^\infty{b_n\sin nx}$ 的级数为正弦级数。

2.若 $f(x)$ 是偶函数，则显然 $b_n=0$ ，且：

$a_n=\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx{\rm d}x}=\frac{2}{\pi}{\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx{\rm d}x},{\quad}n=0,1,2,···$

这时， $\begin{equation*} f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty{a_n\sin nx} \end{equation*}$ ，称形如 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty{a_n\sin nx}$ 的级数为余弦级数。