曲线曲面积分的关系

一、背景

这个周末一直在鼓捣曲线曲面积分的一些题目，个人其实感觉这应该是高等数学中对科研最有用的内容了。学院在安排专业培养的时候给我们17级没有设置大学物理，后面18级恰巧赶上工程认证，安排上了大学物理，当时觉得我们真庆幸，现在来看我要是有点大学物理的知识，对理解曲线曲面积分应该会有很大的帮助。我在理解这些积分是总喜欢从物理意义出发，在B站看了一些科普视频，仍有一些半知不解，在这里先简单介绍一下我的一些认识。

二、曲线曲面积分的关系

在知乎看到这样一张图

https://www.zhihu.com/question/30310281

很有意思，答主是地铁方面的优秀回答者，于是给出了这样一张地铁路线图，我一眼看过去还以为是自动机~(编译原理学瞎了)。

这张图很简洁，由于答主没有给出文字说明，我在这里对这张图进行一下解释。

将每一种积分看做一个结点，注意到每个结点之间都是双向的。

1、一型曲线积分与定积分

一型曲线积分，也就是对弧长的曲线积分可以直接化开弧长转换成定积分

2、二型曲线积分与定积分

二型曲线积分通过参数方程变换为定积分

3、一型曲线积分与二型曲线积分

一型曲线积分可以和二型曲线积分进行转换

平面：

空间：

4、二型曲线积分与二重积分

格林公式

二型曲线积分可以通过格林公式转换成二重积分

条件必须是封闭曲线，要注意正方向的选取，以及平面单连通和平面复连通，有时需要取辅助线构成封闭曲线。

斯托克斯公式

斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着曲面边界曲线的曲线积分联系起来。

利用两类曲面积分间的关系，可得斯托克斯公式的另一种形式

5、一型曲面积分与二重积分

一型曲面积分，也就是对坐标的曲面积分可以通过投影直接转换成二重积分

6、二型曲面积分与二重积分

7、一型曲面积分与二型曲面积分

一型曲面积分可以和二型曲面积分进行转换

8、曲面积分与三重积分

高斯公式

封闭的曲面积分可以通过高斯公式转换成空间闭区域的三重积分

三、曲线积分的物理意义

内容转载自知乎回答https://www.zhihu.com/question/352190739/answer/868011323

博主重新绘图。

1.不均匀平面弯杆的质量

假设L为xoy面上的一个密度不均匀分布的弯杆，设L的方程为y＝y(x)，其上任意一点的密度为μ(x,y)，且μ为连续函数。为计算弯杆总质量M，我们先利用L上n-1个点将其等分成n份，每一段小弧长度用ds表示。只要n充分大，那么每一小段的密度μ可以近似视为常量，从而利用微元法，我们可以轻松得出，总质量为

$M = \int u(x,y)ds$

这种积分，我们将其称为(平面)第一型曲线积分。

2.变力沿曲线做功

假设平面xoy上有一物体M，受到变力F(x，y)的作用，沿着曲线L，从A点运动到了B点，如何求变力F所做的总功呢？我们采取的方法是

“力的正交分解”+“微元法”

首先，我们将力F(x,y)正交分解为水平方向的分力P(x,y)和竖直方向的分力Q(x,y)，那么很明显，合力F所做的总功，等于水平方向分力P(x,y)所做的功和竖直方向分力Q(x,y)所做的功(注意，功是标量，本身没有方向，我们分解的只是力！)

然后采用我们之前在计算“不均匀平面弯杆的质量”时用过的微元法----取L上n-1个点将其等分成n份，每一段小弧长度用ds表示。只要n充分大，那么每一小段的分力P和Q均可以近似视为常量，与x,y无关。从而利用微元法，我们可以轻松得出，水平方向分力P所做的总功为W1＝∫P(x,y)dx，积分域为L；竖直方向分力Q所做的总功为W2＝∫Q(x,y)dy，积分域也为L，所以变力F沿曲线L从A到B所做的总功为

$W＝W1+W2＝\int P(x,y)dx+ \int Q(x,y)dy$

这种积分，我们将其称为(平面)第二型曲线积分。

综上，我们可以看出，因为实际问题的需要，我们将曲线积分分为了第一型和第二型。它们之所以都叫曲线积分，那是因为二者的积分域均为曲线L；之所以又有区别，那是因为二者所解决的问题不同，第一型曲线积分是为了计算不均匀弯杆的质量，第二型曲线积分是为了计算变力沿曲线做功。

3.两类曲线积分的区别与联系

(一)区别

两类曲线积分之间的区别确实太多了。

首先，它们的背景意义不同，这便是重要区别之一；

其次，根据背景意义，我们可以轻松得出，第一型曲线积分，是没有方向性的，它不依赖于积分曲线L的走向(因为质量M与L的方向无关)。而第二型曲线积分的值，明显依赖与积分曲线L的方向(因为从背景意义来说，即使力的大小方向不变，但是物体如果沿着L从B到A反向运动，则F所做的功会变为相反数)

所以，有无方向性，是两类曲线积分之间的重大区别

(二)联系

二者的联系，可以从纯数学角度推导，具体推导过程此处略去，其转换公式为

$\int Pdx+\int Qdy＝\int (P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds$

其中，α和β是有向曲线L在点(x,y)的方向角。

下面，我从物理意义的角度来解释该转换公式为何成立——

我们采取两种不同的方式计算【变力沿曲线做功】的问题。

第一种方式便是第二类曲线积分，方法为“力的正交分解+微元法”，将力分解为水平方向的P和竖直方向的Q，前文已有描述，此处不再赘述，只给出公式为

$W＝\int Pdx+ \int Qdy$ ——①

第二种方式，是建立在第一种方法的基础上，区别只是将P和Q共同投影到了物体运动方向，如图所示

设有向曲线为L，曲线在点(x,y)处切向量的方向角分别为α和β，切线记为l。

为了算F所做总功，先将F正交分解为P和Q，再将P和Q投影到物体运动方向。根据图示，P在l方向的投影力的大小为Pcosα，Q在l方向的投影力的大小为Qcosβ，所以合力F在运动方向的分力大小等于:

$P\cos\alpha+Q\cos\beta$

再次使用微元法，我们可以轻松得出力F所做的总功为

$W＝\int (P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds$ ——②

由①②立得