人工智能技术导论——基于谓词逻辑的机器推理
一、一阶谓词逻辑
1、谓词、函数、量词
设a1, a2, …, an表示个体对象, A表示它们的属性、状态或关系, 则表达式
A(a1, a2, …, an)
在谓词逻辑中就表示一个(原子)命题。 例如,
(1) 素数(2), 就表示命题“2是个素数”。
(2) 好朋友(张三, 李四), 就表示命题“张三和李四是好朋友”。
一般地, 表达式
P(x1,x2,…,xn)
在谓词逻辑中称为n元谓词。其中P是谓词符号，也称谓词，代表一个确定的特征或关系(名)。x1,x2,…,xn称为谓词的参量或者项，一般表示个体。
个体变元的变化范围称为个体域（或论述域），包揽一切事物的集合称为全总个体域。
为了表达个体之间的对应关系，我们引入通常数学中函数的概念和记法。例如我们用father(x)表示x的父亲，用sum(x,y)表示数x和y之和，一般地，我们用如下形式：
f(x1,x2,…,xn)
表示个体变元x1,x2,…,xn所对应的个体y，并称之为n元个体函数，简称函数（或函词、函词命名式）。其中f是函数符号，有了函数的概念和记法，谓词的表达能力就更强了。
例如，我们用Doctor(father(Li))表示“小李的父亲是医生”，用E(sq(x),y))表示“x的平方等于y”。
以后我们约定用大写英文字母作为谓词符号,用小写字母f,g, h等表示函数符号,用小写字母x, y, z等作为个体变元符号, 用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
我们把“所有”、“一切”、“任一”、“全体”、“凡是”等词统称为全称量词, 记为 ∀x; 把“存在”、“有些”、“至少有一个”、 “有的”等词统称为存在量词, 记为∃ x。 
其中M(x)表示“x是人”, N(x)表示“x有名字”, 该式可读作“对于任意的x, 如果x是人, 则x有名字”。这里的个体域取为全总个体域。
如果把个体域取为人类集合, 则该命题就可以表示为
同理, 我们可以把命题“存在不是偶数的整数”表示为
其中G(x)表示“x是整数”, E(x)表示“x是偶数”。此式可读作“存在x, x是整数并且x不是偶数”。
不同的个体变元, 可能有不同的个体域。为了方便和统一起见, 我们用谓词表示命题时,一般总取全总个体域, 然后再采取使用限定谓词的办法来指出每个个体变元的个体域。 具体来讲,有下面两条：
(1) 对全称量词,把限定谓词作为蕴含式之前件加入, 即 ∀x(P(x)→…)。
(2) 对存在量词, 把限定量词作为一个合取项加入, 即 ∃x(P(x)∧…)。
这里的P(x)就是限定谓词。 我们再举几个例子。
例 5.1 不存在最大的整数, 我们可以把它翻译为 
不存在一个整数x,总比所有的整数y都大
或
任意的一个整数x,总有一个整数y比x大
例 5.2 对于所有的自然数, 均有x+y>x 
例5.3 某些人对某些食物过敏
2、谓词公式
定义1
(1) 个体常元和个体变元都是项。
(2) 设f是n元函数符号,若t1,t2,…,tn是项,则f(t1,t2,…,tn)是项。
(3) 只有有限次使用(1), (2)得到的符号串才是项。
定义2 设P为n元谓词符号，t1,t2,…,tn为项，则P(t1,t2,…,tn)称为原子谓词公式，简称原子公式或者原子。
从原子谓词公式出发，通过命题联结词和量词，可以组成复合谓词公式。下面我们给出谓词公式的严格定义，即谓词公式的生成规则。
定义3
(1)原子公式是谓词公式。
(2)若A,B是谓词公式，则A,A∧B,A∨B,A→B, A↔B, ∀xA, ∃xA也是谓词公式。
(3)只有有限步应用(1)，(2)生成的公式才是谓词公式。
由项的定义，当t1,t2,…,tn全为个体常元时，所得的原子谓词公式就是原子命题公式（命题符号）。所以，全体命题公式也都是谓词公式。谓词公式亦称为谓词逻辑中的合适（式）公式，记为Wff。
紧接于量词之后被量词作用(即说明)的谓词公式称为该量词的辖域。例如：
(1) ∀xP(x)。
(2) ∀x(H(x)→G(x, y))。
(3) ∃xA(x)∧B(x)。
其中(1)中的P(x)为∀x的辖域, (2)中的H(x)→G(x, y)为∀x的辖域, (3)中的A(x)为∃x的辖域, 但B(x)并非 ∃x的辖域。
量词后的变元如 ∀x, ∃y中的x,y称为量词的指导变元(或作用变元), 而在一个量词的辖域中与该量词的指导变元相同的变元称为约束变元, 其他变元(如果有的话)称为自由变元, 例如(2)中的x为约束变元, 而y为自由变元, (3)中A(x)中的x为约束变元, 但 B(x)中的x为自由变元。例如(3),一个变元在一个公式中既可约束出现, 又可自由出现, 但为了避免混淆, 通常通过改名规则, 使得一个公式中一个变元仅以一种形式出现。
约束变元的改名规则如下：
(1) 对需改名的变元, 应同时更改该变元在量词及其辖域中的所有出现。
(2) 新变元符号必须是量词辖域内原先没有的, 最好是公式中也未出现过的。例如公式 ∀xP(x)∧Q(x)可改为∀yP(y)∧Q(x), 但两者的意义相同。
在谓词前加上量词, 称作谓词中相应的个体变元被量化, 例如∀xA(x)中的x被量化, ∃yB(y)中y被量化。如果一个谓词中的所有个体变元都被量化, 则这个谓词就变为一个命题。例如, 设P(x)表示“x是素数”,则 ∀xP(x), ∃xP(x)就都是命题。这样我们就有两种从谓词(即命题函数)得到命题的方法：一种是给谓词中的个体变元代入个体常元, 另一种就是把谓词中的个体变元全部量化。
需要说明的是，仅个体变元被量化的谓词称为一阶谓词，如果不仅个体变元被量化，而且函数符号也被量化，这样的谓词称为二阶谓词。本书只涉及一阶谓词。
把上面关于量化的概念也可以推广到谓词公式。于是，我们便可以说，如果一个公式中的所有个体变元都被量化，或者所有变元都是约束变元（或无自由变元），则这个公式就是一个命题。特别地，我们称∀xA(x)为全称命题，∃xA(x)为特称命题。对于这两种命题，当个体域为有限集时（设有n个元素），有下面的等价式：
∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)
∃xA(x)⇔A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
这两个式子也可以推广到个体域为可数无限集。
定义4 设A为如下形式的谓词公式：
B1∧B2∧…∧Bn
其中Bi(i=1,2,…,n)形如L1∨L2∨…∨Lm，Lj(j=1,2,…,m)为原子公式或其否定，则A称为合取范式。
例如：
(P(x)∨Q(y))∧(乛P(x)∨Q(y)∨R(x,y))∧(乛Q(y)∨乛R(x,y))
就是一个合取范式。
定义5 设A为如下形式的命题公式：
B1∨B2∨…∨Bn
其中Bi(i=1,2,…,n)形如L1∧L2∧…∧Lm，Lj(j=1,2,…,m)为原子公式或其否定，则A称为析取范式。
例如：
(P(x)∧乛Q(y)∧R(x,y))∨(乛P(x)∧Q(y))∨(乛P(x)∧R(x,y))
就是一个析取范式。
定义6 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中的任一解释：
(1)若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的永真式。
(2)若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D上的永假式。
(3)若至少有一个解释,可使P为真，则称P在D上可满足或是D上的可满足式。
定义7 设P为谓词公式，对于任何个体域：
(1)若P都永真，则称P为永真式。
(2)若P都永假，则称P为永假式。
(3)若P都可满足，则称P为可满足式。
3、谓词逻辑中的形式演绎推理
由上节所述，我们看到，利用谓词公式可以将自然语言中的陈述语句表示为一种形式化的符号表达式。那么，利用谓词公式，我们同样可以将形式逻辑中抽象出来的推理规则形式化为一些符号变换公式。表5.1和表5.2就是形式逻辑中常用的一些逻辑等价式和逻辑蕴含式，即推理规则的符号表示形式。 
例5.4 设有前提：
(1)凡是大学生都学过计算机；
(2)小王是大学生。
试问：小王学过计算机吗？
解
令S(x)：x是大学生;M(x)：x学过计算机; a：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) ∀x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面我们进行形式推理：
(1) x(S(x)→M(x)) ［前提］
(2)S(a)→M(a) [(1),US］
(3)S(a) ［前提］
(4)M(a) ［(2),(3),I3］
得结果：M(a)，即“小王学过计算机”。
例5.5 证明乛P(a,b)是 ∀x ∀y(P(x,y)→W(x,y))和乛W(a,b)的逻辑结果。证
(1) ∀x∀y(P(x,y)→W(x,y)) ［前提］
(2) ∀y(P(a,y)→W(a,y)) ［(1),US］
(3) P(a,b)→W(a,b) ［(2),US］
(4)乛W(a,b) ［前提］
(5)乛P(a,b) ［(3),(4),I4］
例5.6 证 ∀x(P(x)→Q(x))∧ ∀(R(x) →乛Q(x))⇔x(R(x)→乛P(x))。证
(1) ∀x(P(x)→Q(x)) ［前提］
(2)P(y)→Q(y) ［(1),US］
(3)乛Q(y)→乛P(y) ［(2),E24］
(4) ∀x(R(x)→乛Q(x)) ［前提］
(5)R(y)→乛Q(y) ［(3),US］
(6)R(y)→乛P(y) ［(3),(5),I6］
(7)∀x(R(x)→乛P(x)) ［(6),UG］
二、归结演绎推理
1、子句集
定义1 原子谓词公式及其否定称为文字，若干个文字的一个析取式称为一个子句，由r个文字组成的子句叫r—文字子句，1—文字子句叫单元子句，不含任何文字的子句称为空子句，记为□或NIL。
例如下面的析取式都是子句
P∨Q∨乛R
P(x,y)∨乛Q(x)
定义2 对一个谓词公式G，通过以下步骤所得的子句集合S，称为G的子句集。
(1)消去蕴含词→和等值词←→。可使用逻辑等价式:
①A→B ⇔ 乛A∨B
②A← →B ⇔ (乛A∨B)∧(乛B∨A)
(2)缩小否定词的作用范围，直到其仅作用于原子公式。可使用逻辑等价式:
①乛(乛A) ⇔ A
②乛(A∧B) ⇔ 乛A∨乛B
③乛(A∨B) ⇔ 乛A∧乛B
④乛∀xP(x) ⇔ ∀x乛P(x)
⑤乛∃ xP(x) ⇔ ∃x乛P(x)
(3)适当改名，使量词间不含同名指导变元和约束变元。
(4)消去存在量词。
消去存在量词时，同时还要进行变元替换。变元替换分两种情况：
①若该存在量词在某些全称量词的辖域内，则用这些全称量词指导变元的一个函数代替该存在量词辖域中的相应约束变元，这样的函数称为Skolem函数；
②若该存在量词不在任何全称量词的辖域内，则用一个常量符号代替该存在量词辖域中的相应约束变元，这样的常量符号称为Skolem常量。
(5)消去所有全称量词。
(6)化公式为合取范式。
可使用逻辑等价式:
①A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C)
②(A∧B)∨C ⇔ (A∨C)∧(B∨C)
(7)适当改名，使子句间无同名变元。
(8)消去合取词∧，以子句为元素组成一个集合S。
例5.7 求下面谓词公式的子句集
∀x{ ∀yP(x,y)→ ∀y［Q(x,y)→R(x,y)］}
解
由步(1)得 ∀x{乛yP(x,y)∨乛 ∀y［乛Q(x,y)∨R(x,y)］}
由步(2)得 ∀x{∃yP(x,y)∨ ∃y［Q(x,y)∧乛R(x,y)］}
由步(3)得 ∀x{ ∃yP(x,y)∨∃z［Q(x,z)∧乛R(x,z)］}
由步(4)得 ∀x{乛P(x,f(x))∨［Q(x,g(x))∧乛R(x,g(x))］}
由步(5)得 乛P(x,f(x))∨［Q(x,g(x))∧乛R(x,g(x))］
由步(6)得 ［乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x))］∧［乛P(x,f(x))∨乛R(x,g(x))］
由步(7)得 ［乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x))］∧［乛P(y,f(y))∨乛R(y,g(y))］
由步(8)得 {乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x)),乛P(y,f(y))∨乛R(y,g(y))}
或
乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x))
乛P(y,f(y))∨R(y,g(y))
为原谓词公式的子句集。
需说明的是，在上述求子句集的过程中，当消去存在量词后，把所有全称量词都依次移到整个式子的最左边（或者先把所有量词都依次移到整个式子的最左边，再消去存在量词），再将右部的式子化为合取范式，这时所得的式子称为原公式的Skolem标准型。例如，上例中谓词公式的Skolem标准型就是
∀x{［乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x))］∧［乛P(y,f(y))∨乛R(y,g(y))］}
例5.8 设G=∀x∀y∀z∀u∀v∀w(P(x,y,z)∧乛Q(u,v,w))，那么，用a代替x，用f(y,z)代替u，用g(y,z,v)代替w，则得G的Skolem标准型
∀y∀z∀v(P(a,y,z)∧乛Q(f(y,z),v,g(y,z,v)))
进而得G的子句集为
{P(a,x,y),乛Q(f(u,v),w,g(u,v,w))}
由此例还可看出，一个公式的子句集也可以通过先求前束范式，再求Skolem标准型而得到。
需说明的是，引入Skolem函数，是由于存在量词在全称量词的辖域之内，其约束变元的取值则完全依赖于全称量词的取值。Skolem函数就反映了这种依赖关系。但注意，Skolem标准型与原公式一般并不等价，例如有公式：
由子句集的求法可以看出，一个子句集中的各子句间为合取关系，且每个个体变元都受全称量词约束（我们假定公式中无自由变元，或将自由变元看作常元）。所以，一个公式的子句集也就是该公式的Skolem标准型的另外一种表达形式。有了子句集，我们就可以通过一个谓词公式的子句集来判断公式的不可满足性。
定理1 谓词公式G不可满足当且仅当其子句集S不可满足
定理1把证明一个公式G的不可满足性，转化为证明其子句集S的不可满足性。
定义3 子句集S是不可满足的，当且仅当其全部子句的合取式是不可满足的。
2、命题逻辑中的归结原理
归结演绎推理是基于一种称为归结原理(亦称消解原理principleofresolution)的推理规则的推理方法。归结原理是由鲁滨逊(J.A.Robinson)于1965年首先提出。它是谓词逻辑中一个相当有效的机械化推理方法。归结原理的出现，被认为是自动推理，特别是定理机器证明领域的重大突破。
定义4 设L为一个文字，则称L与L为互补文字。
定义5 设C1,C2是命题逻辑中的两个子句，C1中有文字L1，C2中有文字L2，且L1与L2互补，从C1,C2中分别删除L1,L2，再将剩余部分析取起来，记构成的新子句为C12，则称C12为C1,C2的归结式(或消解式)，C1,C2称为其归结式的亲本子句， L1,L2称为消解基。
例5.9 设C1=乛P∨Q∨R,C2=乛Q∨S,于是C1,C2的归结式为
乛P∨R∨S
定理2 归结式是其亲本子句的逻辑结果。
证明 设C1=L∨C1′,C2=乛L∨C2′,C1′,C2′都是文字的析取式，则C1,C2的归结式为C1′∨C2′，因为
C1=C1′∨L=乛(C1′→L),C2=L∨C2′=(L→C2′)
所以
C1∧C2=(乛C1′→L)∧(L→C2′)⇒乛(C1′→C2′)=C1′∨C2′
证毕。
由定理2即得推理规则：
C1∧C2⇒ (C1-｛L1｝)∪(C2-｛L2｝) 
推论 设C1,C2是子句集S的两个子句，C12是它们的归结式，则
(1)若用C12代替C1,C2，得到新子句集S1，则由S1的不可满足可推出原子句集S的不可满足。即
S1不可满足 ⇒S不可满足
(2)若把C12加入到S中，得到新子句集S2，则S2与原S的同不可满足。即
S2不可满足 ⇒S不可满足
例5.11 证明子句集{P∨乛Q,乛P,Q}是不可满足的。
证
(1)P∨乛Q
(2)乛P
(3)Q
(4)乛Q 由(1),(2)
(5)□ 由(3),(4)
例5.12 用归结原理证明R是P,(P∧Q)→R,(S∨U)→Q,U的逻辑结果。
证 我们先把诸前提条件化为子句形式，再把结论的非也化为子句，由所有子句得到子句集S=｛P,乛P∨乛Q∨R,乛S∨Q,乛U∨Q,U,乛R｝，然后对该子句集施行归结，归结过程用下面的归结演绎树表示。由于最后推出了空子句，所以子句集S不可满足，即命题公式
P∧(乛P∨乛Q∨R)∧(乛S∨Q)∧(乛U∨Q)∧U∧乛R
不可满足，从而R是题设前提的逻辑结果。 
3、替换与合一
在一阶谓词逻辑中应用消解原理，不像命题逻辑中那样简单，因为谓词逻辑中的子句含有个体变元，这就使寻找含互否文字的子句对的操作变得复杂。例如：
C1=P(x)∨Q(x)
C2=乛P(a)∨R(y)
直接比较，似乎两者中不含互否文字，但如果我们用a替换C1中的x，则得到
C1′=P(a)∨Q(a)
C2′=乛P(a)∨R(y)
于是根据命题逻辑中的消解原理，得C1′和C2′的消解式
C3′=Q(a)∨R(y)
所以，要在谓词逻辑中应用消解原理，则一般需要对个体变元作适当的替换。
定义6 一个替换(Substitution)是形如｛t1/x1,t2/x2,…,tn/xn｝的有限集合，其中t1,t2,…,tn是项，称为替换的分子；x1,x2,…,xn是互不相同的个体变元，称为替换的分母；ti不同于xi，xi也不循环地出现在tj(i,j=1,2,…,n)中；ti/xi表示用ti替换xi。若t1,t2,…,tn都是不含变元的项（称为基项）时，该替换称为基替换；没有元素的替换称为空替换，记作ε，它表示不作替换。例如：
例如：｛a/x,g(y)/y , f(g(b))/z｝就是一个替换，而{g(y)/x, f(x)/y}则不是一个替换,因为x与y出现了循环替换。
下面我们将项、原子公式、文字、子句等统称为表达式，没有变元的表达式称为基表达式，出现在表达式E中的表达式称为E的子表达式。
定义7 设θ=｛t1/x1,…,tn/xn｝是一个替换，E是一个表达式，把对E施行替换θ，即把E中出现的个体变元xj(1≤j≤n)都用tj替换，记为Eθ，所得的结果称为E在θ下的例(instance)。
定义8 设θ=｛t1/x1,…,tn/xn｝,λ=｛u1/y1,…,um/ym｝是两个替换，则将集合｛t1λ/x1,…,tnλ/xn,u1/y1,…,um/ym｝ 中凡符合下列条件的元素删除：
(1)tiλ/xi 当tiλ=xi
(2)ui/yi当yi∈｛x1,…,xn｝
如此得到的集合仍然是一个替换，该替换称为θ与λ的复合或乘积，记为θ·λ。
例5.13 设
θ=｛f(y)/x,z/y｝
λ=｛a/x,b/y,y/z｝
于是,
｛t1λ/x1,t2λ/x2,u1/y1,u2/y2,u3/y3｝=｛f(b)/x,y/ y,a/x,b/y,y/z｝
从而θ·λ=｛f(b)/x,y/z｝
可以证明，替换的乘积满足结合律，即
(θ·λ)·u=θ·(λ·u)
定义9 设S=｛F1,F2,…,Fn｝是一个原子谓词公式集，若存在一个替换θ，可使F1θ=F2θ=…=Fnθ，则称θ为S的一个合一(Unifier)，称S为可合一的。
一个公式集的合一一般不唯一。
定义10 设σ是原子公式集S的一个合一，如果对S的任何一个合一θ，都存在一个替换λ，使得
θ=σ·λ
则称σ为S的最一般合一(MostGeneralUnifier)，简称MGU。
例5.14 设S=｛P(u,y,g(y)),P(x,f(u),z)｝，S有一个最一般合一
σ=｛u/x,f(u)/y,g(f(u))/z｝
对S的任一合一，例如：
θ=｛a/x,f(a)/y,g(f(a))/z,a/u｝
存在一个替换
λ=｛a/u｝
使得
θ=σ·λ
可以看出，如果能找到一个公式集的合一，特别是最一般合一，则可使互否的文字的形式结构完全一致起来，进而达到消解的目的。如何求一个公式集的最一般合一？有一个算法，可以求任何可合一公式集的最一般合一。为了介绍这个算法，我们先引入差异集的概念。
定义11 设S是一个非空的具有相同谓词名的原子公式集，从S中各公式的左边第一个项开始，同时向右比较，直到发现第一个不都相同的项为止，用这些项的差异部分组成一个集合，这个集合就是原公式集S的一个差异集。
例5.15 设S=｛P(x,y,z),P(x,f(a),h(b))｝，则不难看出，S有两个差异集
D1=｛y,f(a)｝
D2=｛z,h(b)｝
设S为一非空有限具有相同谓词名的原子谓词公式集，下面给出求其最一般合一的算法。
合一算法(Unification algorithm)：
步1 置k=0, Sk=S，σk=ε;
步2 若Sk只含有一个谓词公式，则算法停止，σk就是要 求的最一般合一;
步3 求Sk的差异集Dk;
步4 若Dk中存在元素xk和tk，其中xk是变元，tk是项且xk 不在tk中出现，则置Sk +1= Sk ｛tk/xk｝,σk+1=σk·｛tk/xk｝，k=k+1，然后转步2;
步5 算法停止，S的最一般合一不存在。
例5.16 求公式集S=｛P(a,x,f(g(y))),P(z,h(z,u),f(u))｝的最一般合一。
解
k=0：
S0=S, σ0=ε,S0不是单元素集，求得D0=｛a,z｝，其中z是变元，且不在a中出现，所以有
σ1=σ0·｛a/z｝=ε·｛a/z｝=｛a/z｝
S1=S0｛a/z｝=｛P(a,x,f(g(y))),P(a,h(a,u),f(u))｝
k=1:
S1不是单元素集，求得D1=｛x,h(a,u)｝，
所以
σ2=σ1·｛h(a,u)/x｝=｛a/z｝·｛h(a,u)/x｝=｛a/u,h(a,u)/x｝
S2=S1｛h(a,u)/x｝=｛P(a,h(a,u),f(g(y))),P(a,h(a,u),f(u))｝
k=2:
S2不是单元素集，D2=｛g(y),u｝，
σ3=σ2·｛g(y)/u｝=｛a/z,h(a,g(y))/x,g(y)/u｝
S3=S2｛g(y)/u｝=｛P(a,h(a,g(y),f(g(y))),P(a,h(a,g(y)),f(g(y)))｝=｛P(a,h(a,g(y)),f(g(y)))｝
k=3:
S3已是单元素集，所以σ3就是S的最一般合一。
例5.17 判定S=｛P(x,x),P(y,f(y))｝是否可合一？
解
k=0:
S0=S,σ0=ε,
S0不是单元素集，D0=｛x,y｝
σ1=σ0·｛y/x｝=｛y/x｝
S1=S0｛y/x｝=｛P(y,y),P(y,f(y))｝
k=1:
S1不是单元素集，D1=｛y,f(y)｝，由于变元y在项f(y)中出现，所以算法停止，S不存在最一般合一。
从合一算法可以看出，一个公式集S的最一般合一可能是不唯一的，因为如果差异集Dk=｛ak,bk｝，且ak和bk都是个体变元，则下面两种选择都是合适的：
σk+1=σk·｛bk/ak｝或σk+1=σk·｛ak/bk｝
定理3 （合一定理）如果S是一个非空有限可合一的公式集，则合一算法总是在步2停止，且最后的σk即是S的最一般合一。本定理说明任一非空有限可合一的公式集，一定存在最一般合一，而且用合一算法总能找到最一般合一，这个最一般合一也就是当算法终止在步2时，最后的合一σk。
4、谓词逻辑中的归结原理
定义12 设C1,C2是两个无相同变元的子句，L1,L2分别是C1,C2中的两个文字，如果L1和L2有最一般合一σ，则子句(C1σ-｛L1σ｝)∪(C2σ-｛L2σ｝) 称作C1和C2的二元归结式(二元消解式)，C1和C2称作归结式的亲本子句，L1和L2称作消解文字。
例5.18 设C1=P(x)∨Q(x),C2=P(a)∨R(y)，求C1,C2的归结式。
解 取L1=P(x),L2=P(a),则L1与L2的最一般合一σ=｛a/x｝，
于是,(C1σ-｛L1σ｝)∪(C2σ-｛L2σ｝)
=(｛P(a),Q(a)｝-｛P(a)｝)∪(｛P(a),R(y)｝-｛P(a)｝)
=｛Q(a),R(y)｝
=Q(a)∨R(y)
所以，Q(a)∨R(y)是C1和C2的二元归结式。
例5.19 设C1=P(x,y)∨Q(a),C2=Q(x)∨R(y),求C1,C2的归结式。
解 由于C1,C2中都含有变元x,y，所以需先对其中一个进行改名,方可归结（归结过程是显然的，故从略）。还需说明的是，如果在参加归结的子句内部含有可合一的文字，则在进行归结之前，也应对这些文字进行合一，从而使子句达到最简。例如，设有两个子句：
C1=P(x)∨P(f(a))∨Q(x)
C2=P(y)∨R(b)
可见,在C1中有可合一的文字P(x)与P(f(a))，那么，取替换θ={f(a)/x}(这个替换也就是P(x)和P(f(a))的最一般合一)，则得
C1θ=P(f(a))∨Q(f(a))
现在再用C1θ与C2进行归结，从而得到C1与C2的归结式
Q(f(a))∨R(b)
定义13 如果子句C中，两个或两个以上的文字有一个最一般合一σ，则Cσ称为C的因子，如果Cσ是单元子句，则Cσ称为C的单因子。
例5.20 设C=P(x)∨P(f(y))∨乛Q(x),令σ=｛f(y)/x｝，于是Cσ=P(f(y))∨乛Q(f(y))是C的因子。
定义14 子句C1,C2的消解式，是下列二元消解式之一：
(1)C1和C2的二元消解式;
(2)C1和C2的因子的二元消解式;
(3)C1的因子和C2的二元消解式;
(4)C1的因子和C2的因子的二元消解式。
定理4 谓词逻辑中的消解式是它的亲本子句的逻辑结果。(证明类似于定理2，故从略。)
由此定理我们即得谓词逻辑中的推理规则：
C1∧C2 ⇒ (C1σ-｛L1σ｝)∪(C2σ-｛L2σ｝)
其中C1,C2是两个无相同变元的子句，L1,L2分别是C1,C2中的文字，σ为L1与L2的最一般合一。此规则称为谓词逻辑中的消解原理（或归结原理）。
例5.21 求证G是A1和A2的逻辑结果。
A1: x(P(x)→(Q(x)∧R(x)))
A2: x(P(x)∧S(x))
G: x(S(x)∧R(x))
证 我们用反证法，即证明A1∧A2∧乛G不可满足。首先求得子句集S：
(1)乛P(x)∨Q(x)
(2)乛P(y)∨R(y)
(3)P(a)
(4)S(a)
(5)乛S(z)∨乛R(z)(乛G)
然后应用消解原理，得
(6)R(a) ［(2),(3),σ1=｛a/y｝］
(7)乛R(a) ［(4),(5),σ2=｛a/z｝］
(8)□ ［(6),(7)］
所以S是不可满足的，从而G是A1和A2的逻辑结果。
例5.22 设已知：
(1)能阅读者是识字的；
(2)海豚不识字；
(3)有些海豚是很聪明的。
试证明：有些聪明者并不能阅读。
证 首先，定义如下谓词：
R(x)：x能阅读。
L(x)：x识字。
I(x)：x是聪明的。
D(x)：x是海豚。
由以上例子可以看出，谓词逻辑中的消解原理也可以代替其他推理规则。
上面我们通过推导空子句，证明了子句集的不可满足性，于是存在问题：对于任一不可满足的子句集，是否都能通过归结原理推出空子句呢？回答是肯定的。
定理5 （归结原理的完备性定理）如果子句集S是不可满足的，那么必存在一个由S推出空子句□的消解序列。(该定理的证明要用到Herbrand定理，故从略。)
三、应用归结原理求取问题答案
归结原理除了能用于对已知结果的证明外，还能用于对未知结果的求解，即能求出问题的答案来。请看下例。
例5.23 已知:
(1)如果x和y是同班同学，则x的老师也是y的老师。
(2)王先生是小李的老师。
(3)小李和小张是同班同学。
问：小张的老师是谁？
解 设谓词T(x,y)表示x是y的老师，C(x,y)表示x与y是同班同学，则已知可表示成如下的谓词公式：
F1: x y z(C(x,y)∧T(z,x)→T(z,y))
F2:T(Wang,Li)
F3:C(Li,Zhang)
为了得到问题的答案，我们先证明小张的老师是存在的，即证明公式：
G: ∃xT(x,Zhang)
于是，求F1∧F2∧F3∧乛G的子句集如下:
(1)乛C(x,y)∨乛T(z,x)∨T(z,y)
(2)T(Wang,Li)
(3)C(Li,Zhang)
(4)乛T(u,Zhang)
归结演绎，得
(5)乛C(Li,y)∨T(Wang,y) 由(1),(2),{Wang/z,Li/x}
(6)乛C(Li,Zhang) 由(4),(5),{Wang/u,Zhang/y}
(7)□ 由(3),(6)
这说明，小张的老师确实是存在的。那么，为了找到这位老师，我们给原来的求证谓词的子句再增加一个谓词ANS(u)。于是，得到
(4)′ 乛T(u,Zhang)∨ANS(u)
现在，我们用(4)′代替(4)，重新进行归结，则得
(5)′ 乛C(Li,y)∨T(Wang,y) 由(1)(2)
(6)′ 乛C(Li,Zhang)∨ANS(Wang) 由(4)′(5)′
(7)′ ANS(Wang) 由(3)(6)′
可以看出，归结到这一步，求证的目标谓词已被消去，即求证已成功，但还留下了谓词ANS(Wang)。由于该谓词中原先的变元与目标谓词T(u,Zhang)中的一致，所以，其中的Wang也就是变元u的值。这样，我们就求得了小张的老师也是王老师。
上例虽然是一个很简单的问题，但它给了我们一个利用归结原理求取问题答案的方法，那就是：先为待求解的问题找一个合适的求证目标谓词；再给增配（以析取形式）一个辅助谓词，且该辅助谓词中的变元必须与对应目标谓词中的变元完全一致；然后进行归结，当某一步的归结式刚好只剩下辅助谓词时，辅助谓词中原变元位置上的项（一般是常量）就是所求的问题答案。需说明的是，辅助谓词（如此题中的ANS）是一个形式谓词，其作用仅是提取问题的答案，因而也可取其他谓词名。有些文献中就用需求证的目标谓词。如对上例，就取T(u,Zhang)为辅助谓词。
例5.24 设有如下关系:
(1)如果x是y的父亲，y又是z的父亲，则x是z的祖父。
(2)老李是大李的父亲。
(3)大李是小李的父亲。
问：上述人员中谁和谁是祖孙关系？
解 先把上述前提中的三个命题符号化为谓词公式：
F1: ∀x∀y∀z(F(x,y)∧F(y,z)→G(x,z))
F2: F(Lao,Da)
F3: F(Da,Xiao)
并求其子句集如下:
(1)乛 F(x,y)∨乛 F(y,z)∨G(x,z)
(2)F (Lao,Da)
(3)F (Da,Xiao)
设求证的公式为
G: ∃x∃yG(x,y) (即存在x和y，x是y的祖父)
把其否定化为子句形式再析取一个辅助谓词GA(x,y)，得
(4)乛G(u,v)∨GA(u,v)
对(1)~(4)进行归结,得
(5)乛F(Da,z)∨G(Lao,z) (1),(2),{Lao/x,Da/y}
(6)G(Lao,Xiao) (3),(5),{Xiao/z}
(7)GA(Lao,Xiao) (4),(6),{Lao/u,Xiao/v}
所以，上述人员中，老李是小李的祖父。
四、归结策略
1、问题的提出
前面我们介绍了归结原理及其应用，但前面的归结推理都是用人工实现的。而人们研究归结推理的目的主要是为了更好地实现机器推理，或者说自动推理。那么，现在就存在问题：归结原理如何在机器上实现？把归结原理在机器上实现，就意味着要把归结原理用算法表示，然后编制程序，在计算机上运行。下面我们给出一个实现归结原理的一般性算法：
步1 将子句集S置入CLAUSES表；
步2 若空子句NIL在CLAUSES中，则归结成功，结束。
步3 若CLAUSES表中存在可归结的子句对，则归结之，并将归结式并入CLAUSES表，转步2；
步4 归结失败，退出。
可以看出，这个算法并不复杂，但问题是在其步3中应该以什么样的次序从已给的子句集S出发寻找可归结的子句对而进行归结呢？
一种简单而直接的想法就是逐个考察CLAUSES表中的子句，穷举式地进行归结。可采用这样的具体作法：第一轮归结先让CLAUSES表(即原子句集S)中的子句两两见面进行归结，将产生的归结式集合记为S1，再将S1并入CLAUSES得CLAUSES＝S∪S1；下一轮归结时，又让新的CLAUSES即S∪S1与S1中的子句互相见面进行归结，并把产生的归结式集合记为S2，再将S2并入CLAUSES；再一轮归结时，又让S∪S1∪S2与S2中的子句进行归结……如此进行，直到某一个Sk中出现空子句□为止。下面我们举例。
例5.25 设有如下的子句集S，我们用上述的穷举算法归结如下：
S: (1)P∨Q
(2)乛P∨Q
(3)P∨乛Q
(4)乛P∨乛Q
S1:(5)Q ［(1),(2)］
(6)P ［(1),(3)］
(7)Q∨乛Q ［(1),(4)］
(8)P∨乛P ［(1),(4)］
(9)Q∨乛Q ［(2),(3)］
(10)P∨乛P ［(2),(3)］
(11)乛P ［(2),(4)］
(12)乛Q ［(3),(4)］
S2:(13)P∨Q ［(1),(7)］
(14)P∨Q ［(1),(8)］
(15)P∨Q ［(1),(9)］
(16)P∨Q ［(1),(10)］
(17)Q ［(1),(11)］
(18)P ［(1),(12)］
(19)Q ［(2),(6)］
(20)乛P∨Q ［(2),(7)］
(21)乛P∨Q ［(2),(8)］
(22)乛P∨Q ［(2),(9)］
(23)乛P∨Q ［(2),(10)］
(24)乛P ［(2),(12)］
(25)P ［(3),(5)］
(26)P∨乛Q ［(3),(7)］
(27)P∨乛Q ［(3),(8)］
(28)P∨乛Q ［(3),(9)］
(29)P∨乛Q ［(3),(10)］
(30)乛Q ［(3),(11)］
(31)乛P ［(4),(5)］
(32)乛Q ［(4),(6)］
(33)乛P∨乛Q ［(4),(7)］
(34)乛P∨乛Q ［(4),(8)］
(35)乛P∨乛Q ［(4),(9)］
(36)乛P∨乛Q ［(4),(10)］
(37)Q ［(5),(7)］
(38)Q ［(5),(9)］
(39)□ ［(5),(12)］
可以看出，这个归结方法无任何技巧可言，只是一味地穷举式归结。因而对于如此简单的问题，计算机推导了35步，即产生35个归结式，才导出了空子句。那么，对于一个规模较大的实际问题，其时空开销就可想而知了。事实上，这种方法一般会产生许多无用的子句。这样，随着归结的进行，CLAUSES表将会越来越庞大，以至于机器不能容纳。同时，归结的时间消耗也是一个严重问题。
2、几种常用的归结策略
a.删除策略
定义 设C1,C2是两个子句，若存在替换θ，使得C1θ⊆C2，则称子句C1类含C2。
例如：
P(x)类含P(a)∨Q(y) (只需取θ={a/x})
Q(y)类含P(x)∨Q(y) (θ=ε)
P(x)类含P(x),P(x)类含P(a),P类含P,P类含P∨R
P(a,x)∨P(y,b)类含P(a,b) (取θ={b/x,a/y})
删除策略：
在归结过程中可随时删除以下子句：
(1)含有纯文字的子句；
(2)含有永真式的子句；
(3)被子句集中别的子句类含的子句。
所谓纯文字，是指那些在子句集中无补的文字。例如下面的子句集
{P(x)∨Q(x,y)∨R(x),P(a)∨Q(u,v),Q(b,z),P(w)}中的文字R(x)就是一个纯文字。
例5.26 我们在例3.25中使用删除策略。可以看出，这时原归结过程中产生的有些归结式是永真式（如(7)、(8)、(9)、(10)），有些被前面已有的子句所类含（如(17)、(18)等，重复出现可认为是一种类含），因此，它们可被立即删除。这样就导致它们的后裔将不可能出现。于是，归结步骤可简化为
(1)P∨Q
(2)乛P∨Q
(3)P∨乛Q
(4)乛P∨乛Q
(5)Q ［(1),(2)］
(6)P ［(1),(3)］
(7)乛P ［(2),(4)］
(8)乛Q ［(3),(4)］
(9)□ ［(5),(8)］
其实，上述归结还可以进一步简化为
(5)Q ［(1),(2)］
(6)乛Q ［(3),(4)］
(7)□ ［(5),(6)］
这是因为，（5）式出来后，由于它类含了（1）、（2）式，所以可将（1）、（2）式删除。同时当（6）式出现可将（3）、（4）式删除。这样也只能是（5）、（6）式归结了。
例5.27 对下面的子句集S，我们用宽度优先策略与删除策略相结合的方法进行消解。
S: (1)P(x)∨Q(x)∨乛R(x)
(2)乛Q(a)
(3)乛R(a)∨Q(a)
(4)P(y)
(5)乛P(z)∨R(z)
可以看出，(4)类含了(1)，所以先将(1)删除。于是，剩下的四个子句归结得
S1: (6)乛R(a) ［(2),(3)］
(7)乛P(a)∨Q(a) ［(3),(5),{a/z}］
(8)R(z) ［(4),(5),{z/y}］
（6)出现后(3)可被删除，所以，第二轮归结在(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)间进行。其中(2)、(4)、(5)间的归结不必再重做，于是得
S2: (9)乛P(a) ［(2),(7)］
(10)Q(a) ［(4),(7),{a/y}］
(11)乛P(a) ［(5),(6),{a/z}］
(12)□ ［(6),(8),{a/z}］
删除策略有如下特点：
删除策略的思想是及早删除无用子句，以避免无效归结，缩小搜索规模；并尽量使归结式朝“小”（即元数少）方向发展。从而尽快导出空子句。
删除策略是完备的。即对于不可满足的子句集，使用删除策略进行归结，最终必导出空子句□。
定义 一个归结策略是完备的，如果对于不可满足的子句集，使用该策略进行归结，最终必导出空子句□。
a.支持集策略
支持集策略：每次归结时，两个亲本子句中至少要有一个是目标公式否定的子句或其后裔。这里的目标公式否定的子句集即为支持集。
例5.28 设有子句集S={乛I(x)∨R(x),I(a),乛R(y)∨乛L(y),L(a)} 其中子句乛I(x)∨R(x)是目标公式否定的子句。
我们用支持集策略归结如下：
S:(1)乛I(x)∨R(x)
(2)I(a)
(3)乛R(y)∨乛L(y)
(4)L(a)
S1:(5)R(a) 由(1),(2),{a/x}
(6)乛I(x)∨乛L(x) 由(1),(3),{x/y}
S2:(7)乛L(a) 由(5),(3),{a/y}
(8)乛L(a) 由(6),(2),{a/x}
(9)乛I(a) 由(6),(4),{a/x}
(10)□ 由(7),(4)
支持集策略有如下特点：
这种策略的思想是尽量避免在可满足的子句集中做归结，因为从中导不出空子句。而求证公式的前提通常是一致的，所以，支持集策略要求归结时从目标公式否定的子句出发进行归结。所以，支持集策略实际是一种目标制导的反向推理。
支持集策略是完备的。
c.线性归结策略
线性归结策略：在归结过程中，除第一次归结可都用给定的子句集S中的子句外，其后的各次归结则至少要有一个亲本子句是上次归结的结果。线性归结的归结演绎树如图5―3所示，其中C0,B0必为S中的子句， C0称为线性归结的顶子句； C0,C1,C2,…,Cn-1称为线性归结的中央子句；B1,B2,…,Bn-1称为边子句，它们或为S中的子句，或为C1,C2,…, Cn-1中之一。
例5.29 对例5.28中的子句集，我们用线性归结策略归结。
(1)乛I(x)∨R(x)
(2)I(a)
(3)乛R(y)∨L(y)
(4) L(a)
(5) R(a) 由(1)(2),{a/x}
(6)乛L(a) 由(5)(3),{a/y}
(7)□ 由(6)(4)
其归结反演树如图5―4所示。
线性归结策略的特点是：不仅它本身是完备的，高效的，而且还与许多别的策略兼容。例如在线性归结中可同时采用支持集策略或输入策略。
4.输入归结策略
输入归结策略：每次参加归结的两个亲本子句，必须至少有一个是初始子句集S中的子句。可以看出，例5.29中的归结过程也可看作是运用了输入策略。输入归结策略的特点是：
输入归结策略实际是一种自底向上的推理，它有相当高的效率。
输入归结是不完备的。例如子句集
S=｛P∨Q,乛P∨Q,P∨乛Q,P∨乛Q｝
是不可满足的，用输入归结都不能导出空子句，因为最后导出□的子句必定都是单文字子句，它们不可能在S中。
输入归结往往同线性归结配合使用，组成所谓线性输入归结策略。当然，进一步还可以与支持集策略结合。 
