算法设计与分析——矩阵连乘问题(动态规划)
一、问题描述
引出问题之前我们先来复习一下矩阵乘积的标准算法。
int ra,ca;//矩阵A的行数和列数 int rb,cb;//矩阵B的行数和列数 void matrixMultiply() { for(int i=0;i<ra;i++) { for(int j=0;j<cb;j++) { int sun=0; for(int k=0;k<=ca;k++) { sum+=a[i][k]*b[k][j]; } c[i][j]=sum; } } }
给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如,给定三个连乘矩阵{A1,A2,A3}的维数分别是10*100,100*5和5*50,采用(A1A2)A3,乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次,而采用A1(A2A3),乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法,显然,最好的次序是(A1A2)A3,乘法次数为7500次。
加括号的方式对计算量有很大的影响,于是自然地提出矩阵连乘的最优计算次序问题,即对于给定的相继n个矩阵,如何确定矩阵连乘的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
二、问题分析
矩阵连乘也是Catalan数的一个常用的例子,关于时间复杂度的推算需要参考离散数学关于Catalan的内容。
下面考虑使用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。
1、分析最优解的结构
问题的最优子结构性质是该问题可以用动态规划求解的显著特征!!!
2、建立递归关系
3、计算最优值
public static void matrixChain(int n) { for (int i = 1; i <= n; i++) { m[i][i] = 0; } for (int r = 2; r <= n; r++) {//i与j的差值 for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) { int j = i + r - 1; m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j]; s[i][j] = i; for (int k = i + 1; k < j; k++) { int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]; if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k; } } } } }
4、构造最优解
public static void traceback(int i, int j) { if (i == j) { System.out.printf("A%d", i); // 输出是第几个数据 return; } System.out.printf("("); traceback(i, s[i][j]);// 递归下一个数据 System.out.printf(" x "); traceback(s[i][j] + 1, j); System.out.printf(")"); }
三、总结