影醉阏轩窗

衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴。
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傅立叶变换系列(一)傅立叶系列的由来


 说明:

  傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换、短时傅里叶变换。。。这些理解和应用都非常难,网上的文章有两个极端:“Esay”  Or  “Boring”!如果单独看一两篇文章就弄懂傅里叶,那说明你真的是大神了。

  本博文是经过查阅网上几十篇大神的博客、文章、书籍等进行的一个汇总,希望对初学者和我自己一个入门和总结,所以本博文并非原创,抄袭+汇总+修改+总结

主要参考:

  1.傅里叶变换到小波变换的风趣讲解:https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818

  2.一篇外文的翻译者,讲的非常好,本博文大部分基于此大神的翻译进行的部分优化:http://blog.csdn.net/dznlong

  3.风趣幽默的讲解傅里叶的由来和一些基础:https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

  4.网上很多人都基于这篇外文进行的翻译和总结:http://www.dspguide.com/ch8/5.htm,外文得FQ,这里下载之后供大家下载:

  5.扬州大学的一个PPT讲解傅里叶级数推导,原地址不知道在哪,这里给出好心人上传的百度地址:https://wenku.baidu.com/view/67a0cccdda38376baf1faec4.html

  6.百度文库关于傅立叶级数到傅立叶变换的详细描述:https://wenku.baidu.com/view/365c63740b4c2e3f57276383.html

  7.参考的博文在这里或者博文结尾给出,文中直接引用将不再进行说明,请见谅!


 

一.傅立叶变换的前言

  大家刚开始看傅里叶变换的时候,应该都会有几个问题:1.为什么会提出来这样的东西?2.这样的东西有什么用?怎么才能学好这个东西?

  那么第一小节就按照这三个问题展开介绍:

  1.1为什么会有傅立叶变换?

    例一:举个数学的例子,如何求解:

.

    基本每个人都会求解吧?

    A.直接用公式求:

    B.使用技巧:

    大家都知道使用B的方法“快准狠”,那么我们在求解问题的时候尽量选择更简单且效率高的方法去做。

    例二:我们都知道“泰勒公式”,又长又难看,为什么使用这个公式呢?

    使用过的人都知道好处,没使用的人望闻生怯~~

    假设给你一个,这个大家都会求解(直接作图看零点)--->>>

    假设给你一个,这个你怎么作图?当然不能使用matlab或者其它工具了。

    上面的式子用泰勒公式展开去求解就很简单了。。。

    解决:现在给你一个傅里叶级数的展开:

    看到一个f(x)化解成无数个sin(x)和cos(x)的求和,是不是知道这个f(x)很复杂,然后化解成正余弦函数去求解很方便。

    你现在不用知道具体参数什么意思,知道这家伙怎么为什么来的就可以了。

  1.2傅里叶变换有什么用?

    现在有一个信号(如下图),假设最高的波是噪声,现在要去除这个噪声怎么去做?

    当然你可以采集每一个点,然后比较大小的方法。这样的效率和精度我们还不如不去噪声!

 

    对这个信号进行傅里叶变换(具体怎么实现别管),我们发现这个信号是由四个频率的波合成的,那么既然最高的是噪声(100HZ),那么我们直接用低通滤波就可以了。

    一些复杂的信号我们没办法直接找到规律,那么通过傅里叶变换之后会发现他们的规律,之后在进行处理就非常容易了。

  1.3怎么才能学好傅里叶变换?

    A.首先去看一些风趣幽默的讲解傅立叶的文章,对傅立叶有个映像,直接看书就是看天书(当然你有基础可以直接看书)

    B.接着去看一些稍微专业的博文或者书籍,注意这里是“稍微”!对傅立叶的过程有个大概了解。

    C.看看专业的书籍和PPT等,这里要知道哪些公式、哪些理论。

    D.看推导的公式,看不懂就算了,有个了解。

    F.实践,我是做图像的所以用别人写好的库拿图像实践,你可以拿信号~~

二.傅里叶变换的提出

  傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,否定了傅立叶的工作成果,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因怕会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

       谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。

       为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷多的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正余弦曲线信号输入后,输出的仍是正余弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正余弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

  2.1傅立叶变换的类型和表示方法

    先看类型

    根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别:

    当然其中还包括很多改进的划分,比如:快速傅立叶变换、短时傅立叶变换等。。。

    我们主要的讲解针对:周期性连续信号、周期性非连续信号、非周期性连续信号 进行讲解,其它情况用的很少,我们不做讨论。

    再看方法    

    1、 序号表示方法,根据时域中信号的样本数取 0 ~ N/2,用这种方法在程序中使用起来可以更直接地取得每种频率的幅度值,因为频率值跟数组的序号是一一对应的:X[k],取值范围是 0 ~ N/2;

    2、 分数表示方法,根据时域中信号的样本数的比例值取 0 ~ 0.5: X[ƒ],ƒ = k/N,取值范围是 0 ~ 1/2    

    3、 用弧度值来表示,把ƒ乘以一个 2π得到一个弧度值,这种表示方法叫做自然频率(natural frequency):X[ω],ω = 2πƒ = 2πk/N,取值范围是 0 ~ π;    

    4、 以赫兹(Hz)为单位来表示,这个一般是应用于一些特殊应用,如取样率为 10 kHz表示每秒有 10,000 个样本数:取值范围是 0 到取样率的一半。 

    是不是感觉有点懵逼?别着急,就当了解一下,下一篇将循序渐进的叙述这些方法。

 

三.参考文章

    类似我这种参考别人然后一个总结,说的不是很详细:http://blog.csdn.net/znculee/article/details/48291981

    一篇外文,大概看了一点点挺好的:https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/

    文中的公式编辑器:http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

    部分参考博文开头已经给出,如果有参考没有给出地址的,请告知立马改正!

posted on 2018-01-19 17:47  影醉阏轩窗  阅读(7360)  评论(0编辑  收藏  举报

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