AVL排序二叉树树
AVL树第一部分，（插入）
AVL树是一种自平衡二叉搜索树(BST)，其中对于所有节点，左右子树的高度差不能超过1。
一个AVL树的示例
上面的树是AVL树，因为每个节点的左子树和右子树的高度之间的差小于或等于1。
一个非AVL树的示例
上面的树不是AVL树，因为 8 和 18 的左子树和右子树之间的高度差大于 1。
为什么要用AVL树？
大多数二叉查找树(BST)操作(例如，搜索，找最大，找最小，插入，删除等)所用时间为 \(O(H)\)，其中H是BST的高度。较糟糕的情况是，对于倾斜的二叉树，这些操作的成本可以变为 \(O(N)\)。但是如果我们确保在每次插入和删除后树的高度保持 \(O(logN)\)，那么我们可以保证所有这些操作的上限为 \(O(logN)\)。
插入操作
为了确保给定的树在每次插入后都保持AVL，我们必须增加标准的BST插入操作来执行一些重新平衡。下面是可以执行的两个基本操作，可以在不违反BST属性 (即 keys(left) < key(root) < keys(right)) 的情况下重新平衡BST。
- 左旋操作 Left Rotation
- 右旋操作 Right Rotation
T1、T2和T3是以y(左侧)或x(右侧)为根的树的子树
y x
/ \ Right Rotation / \
x T3 - - - - - - - > T1 y
/ \ < - - - - - - - / \
T1 T2 Left Rotation T2 T3
上述两个树中的键遵循以下顺序（即二叉查找树的属性）
keys(T1) < key(x) < keys(T2) < key(y) < keys(T3)
因此BST属性在任何地方都不会被打乱。
插入要遵循的步骤
- 设新插入的节点为 w
- 执行w的标准BST插入
- 从w开始，向上行进，找到第一个不平衡节点。设z是第一个不平衡节点，y是从w到z的路径上的z的子节点，x是从w到z的路径上的z的孙子节点。
- 通过对以z为根的子树执行适当的旋转来重新平衡树。可以有4种可能的情况需要处理，因为x，y和z可以按4种方式排列。以下是可能的4种安排：
- y是z的左子，x是y的左子(左左大小写)
- y是z的左子项，x是y的右子项(左右大小写)
- y是z的右孩子，x是y的右孩子(右大小写)
- y是z的右子，x是y的左子(右左大小写)
以下是在上述4种情况下要进行的操作。在所有情况下，我们只需要重新平衡以z为根的子树，当以z为根的子树的高度(经过适当的旋转)变得与插入前相同时，完整的树就会变得平衡。
-
Left Left Case
T1, T2, T3 and T4 are subtrees. z y / \ / \ y T4 Right Rotate (z) x z / \ - - - - - - - - -> / \ / \ x T3 T1 T2 T3 T4 / \ T1 T2 -
Left Right Case
z z x / \ / \ / \ y T4 Left Rotate (y) x T4 Right Rotate(z) y z / \ - - - - - - - - -> / \ - - - - - - - -> / \ / \ T1 x y T3 T1 T2 T3 T4 / \ / \ T2 T3 T1 T2 -
Right Right Case
z y / \ / \ T1 y Left Rotate(z) z x / \ - - - - - - - -> / \ / \ T2 x T1 T2 T3 T4 / \ T3 T4 -
Right Left Case
z z x / \ / \ / \ T1 y Right Rotate (y) T1 x Left Rotate(z) z y / \ - - - - - - - - -> / \ - - - - - - - -> / \ / \ x T4 T2 y T1 T2 T3 T4 / \ / \ T2 T3 T3 T4
图片示例
实现
下面是AVL树插入的实现。下面的实现使用递归BST INSERT插入新节点。在递归BST插入中，在插入之后，我们以自底向上的方式一个接一个地获得指向所有祖先的指针。所以我们不需要父指针向上移动。递归代码本身向上行进并访问新插入的节点的所有祖先。
- 执行正常的BST插入。
- 当前节点必须是新插入节点的祖先之一。更新当前节点的高度。
- 获取当前节点的平衡因子(左子树高度-右子树高度)。
- 如果平衡因子大于1，则当前节点不平衡，我们要么在左左情况下，要么在左右情况下。要检查是否左大小写，请将新插入的key与左子树根中的key进行比较。
- 如果平衡因子小于-1，则当前节点不平衡，我们要么是右大小写，要么是左右大小写。要检查是否正确大小写，请将新插入的键与右子树根中的键进行比较。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct avlTreeNode {
int key;
struct avlTreeNode *left;
struct avlTreeNode *right;
int height;
} avlTreeNode;
// 新建一个二叉树节点
avlTreeNode *newNode(int key)
{
avlTreeNode *node = malloc(sizeof(avlTreeNode));
node->height = 1;
node->key = key;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
// 辅助函数，返回最大值
int max(int a, int b)
{
return (a > b) ? a : b;
}
// 获取二叉树的高度
int height(avlTreeNode *node)
{
if (node == NULL)
return 0;
return node->height;
}
// 获取节点 node 的平衡因子, 即 node 下的左右子树的高度差
int getBalance(avlTreeNode *node)
{
if(node == NULL)
return 0;
return height(node->left) - height(node->right);
}
/*
y x
/ \ Right Rotation / \
x T3 – - – - – - – > T1 y
/ \ < - - - - - - - / \
T1 T2 Left Rotation T2 T3
*/
// 向右旋转以 y 为根的树
avlTreeNode *rightRotate(avlTreeNode *y)
{
avlTreeNode *x = y->left;
avlTreeNode *T2 = x->right;
// 进行旋转
x->right = y;
y->left = T2;
// 更新高度
y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;
x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;
return x;
}
/*
y x
/ \ Right Rotation / \
x T3 – - – - – - – > T1 y
/ \ < - - - - - - - / \
T1 T2 Left Rotation T2 T3
*/
// 向右旋转以 y 为根的树
avlTreeNode *leftRotate(avlTreeNode *x)
{
avlTreeNode *y = x->right;
avlTreeNode *T2 = y->left;
// 进行旋转
y->left = x;
x->right = T2;
// 更新高度
x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;
y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;
return y;
}
// 给定非空的二叉搜索树，
// 返回在该树中找到的具有最小键值的节点。
// 请注意，不需要搜索整个树
avlTreeNode * minValueNode(avlTreeNode* node)
{
avlTreeNode *currrnt = node;
while(currrnt->left != NULL)
currrnt = currrnt->left;
return currrnt;
}
// 向AVL二叉树插入一个节点
avlTreeNode *avlTreeInsert(avlTreeNode *root, int key)
{
// 1、执行正常的BST插入操作
if(root == NULL)
return newNode(key);
// 如果键值已经存在
if(key == root->key)
return root;
if(key < root->key) //小于往左分支插
root->left = avlTreeInsert(root->left, key);
else
root->right = avlTreeInsert(root->right, key);
// 2、更新BST的高度, 即左右节点高度的最大值 + 1
root->height = max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
// 3、获取该根节点的平衡因子，检查该节点是否变得不平衡
int balance = getBalance(root);
// 如果此节点变得不平衡，则有4种情况, 这是由于插入导致的
// 左 左 过长的原因
if(balance > 1 && key < root->left->key)
return rightRotate(root);
// 右 右 过长原因
if(balance < -1 && key > root->right->key)
return leftRotate(root);
// 左 右 过长
// Left Right Case
if(balance > 1 && key > root->left->key) {
root->left = leftRotate(root->left);
return rightRotate(root);
}
// 右 左 过长
if(balance < -1 && key < root->right->key) {
root->right = rightRotate(root->right);
return leftRotate(root);
}
// 若没做任何改变，返回原值
return root;
}
avlTreeNode *avlTreeDelete(avlTreeNode *root, int key)
{
// 1、基本查找二叉树的删除
if(root == NULL)
return root;
// 小于当前节点，则向左边查找删除
if(key < root->key)
root->left = avlTreeDelete(root->left, key);
// 大于当前节点，则向右边查找删除
else if (key > root->key) {
root->right = avlTreeDelete(root->right, key);
// 如果要删除的是当前 root 节点
} else {
// 当前根节点只有一个字节点或者没有子节点
if(root->left == NULL || root->right == NULL) {
avlTreeNode *temp = root->left ?
root->left : root->right;
// 没有子节点情况, 直接删除该节点
if(temp == NULL) {
temp = root;
root = NULL;
// 有一个子节点情况，将字节点复制给根
} else {
*root = *temp;
}
free(temp);
// 当前根节点包含两个子节点
} else {
// 获取右子树的后续节点中的最小值
// 因为删除根节点后，右子树的最小值刚好适合做根节点的值
avlTreeNode *temp = minValueNode(root->right);
// 复制该后续节点值给当前要删除的根节点
root->key = temp->key;
// 删除该后续最小值节点
root->right = avlTreeDelete(root->right, temp->key);
}
}
// 删除完后，如果树为空
if(root == NULL)
return root;
// 2、更新当前节点的高度
root->height = max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
// 3、获取平衡因子
int balance = getBalance(root);
// 如果此节点变得不平衡，则有4种情况, 这是由于删除导致的
// Left Left Case
if (balance > 1 && getBalance(root->left) >= 0)
return rightRotate(root);
// Left Right Case
if (balance > 1 && getBalance(root->left) < 0) {
root->left = leftRotate(root->left);
return rightRotate(root);
}
// Right Right Case
if (balance < -1 && getBalance(root->right) <= 0)
return leftRotate(root);
// Right Left Case
if (balance < -1 && getBalance(root->right) > 0) {
root->right = rightRotate(root->right);
return leftRotate(root);
}
return root;
}
void preOrder(avlTreeNode *root)
{
if(root != NULL)
{
preOrder(root->left);
printf("%d ",root->key);
preOrder(root->right);
}
}
int main()
{
avlTreeNode *root = NULL;
root = avlTreeInsert(root, 9);
root = avlTreeInsert(root, 5);
root = avlTreeInsert(root, 10);
root = avlTreeInsert(root, 0);
root = avlTreeInsert(root, 6);
root = avlTreeInsert(root, 11);
root = avlTreeInsert(root, -1);
root = avlTreeInsert(root, 1);
root = avlTreeInsert(root, 3);
root = avlTreeInsert(root, 4);
root = avlTreeDelete(root, 10);
preOrder(root);
printf("\n");
}
