牛顿法、割线法、二分法

clear;clc;
%% 牛顿法
f=@(x)x^4-4*x^2+4;%函数
df=@(x)4*x^3-8*x;%一阶导数
ddf=@(x)12*x^2-8;%二阶导数
N=1000;%最大迭代次数
x=zeros(N,1);%储存迭代点
x(1)=log(8);%初始点
eps=0.00001;%容许误差

%迭代过程
for k=2:1:N
    x(k)=x(k-1)-f(x(k-1))/df(x(k-1));
    if(abs(x(k)-x(k-1))<eps)
        break;
    end
end

X=x(k);%迭代结果
K=k;%迭代步数

%% 牛顿法修正1
x=zeros(N,1);%储存迭代点
x(1)=log(8);%初始点

%迭代过程
for k=2:1:N
    x(k)=x(k-1)-2*f(x(k-1))/df(x(k-1));
    if(abs(x(k)-x(k-1))<eps)
        break;
    end
end

X1=x(k);%迭代结果
K1=k;%迭代步数

%% 牛顿法修正2
x=zeros(N,1);%储存迭代点
x(1)=log(8);%初始点

%迭代过程
for k=2:1:N
    x(k)=x(k-1)-f(x(k-1))*df(x(k-1))/(df(x(k-1))^2-ddf(x(k-1))*f(x(k-1)));
    if(abs(x(k)-x(k-1))<eps)
        break;
    end
end

X2=x(k);%迭代结果
K2=k;%迭代步数

clear;clc;
%% 割线法
f=@(x)x^4-4*x^2+4;%函数
df=@(x)4*x^3-8*x;%一阶导数
N=1000;%最大迭代次数
x=zeros(N,1);%储存迭代点
x(1)=log(8);%初始点
x(2)=x(1)-f(x(1))/df(x(1));
eps=0.00001;%容许误差

%迭代过程
for k=3:1:N
    x(k)=x(k-1)-(x(k-1)-x(k-2))/(f(x(k-1))-f(x(k-2)))*f(x(k-1));
    if(abs(x(k)-x(k-1))<eps)
        break;
    end
end

X=x(k);%迭代结果
K=k;%迭代步数

%% 修正的割线法
x=zeros(N,1);%储存迭代点
x(1)=log(8);%初始点
x(2)=x(1)-f(x(1))/df(x(1));

%迭代过程
for k=3:1:N
    u=x(k-2);v=x(k-1);s=u;
    if abs(u)<abs(v)%交换
        s=v;
        v=u;
        u=s;
    end   
    x(k)=v-(v-u)/(f(v)-f(u))*f(v);
    if(abs(x(k)-x(k-1))<eps)
        break;
    end
end

X1=x(k);%迭代结果
K1=k;%迭代步数

clear;clc;
%% 二分法
%计算根号三，相当于计算方程"x^2-3=0"的正根
f=@(x)x^2-3;
a=0;b=100;%区间端点
c=(a+b)/2;
N=1000;%最大迭代次数
eps=0.00001;%容许误差

% 二分法过程
for k=1:1:N
    if(f(a)*f(c)<0)
        b=c;
        c=(a+b)/2;
    else
        a=c;
        c=(a+b)/2;
    end
    if (abs(a-b)<eps)
        break;
    end
end

X=c;%迭代结果
K=k;%迭代步数

 另外，今天上机课写程序时，发现不同的起始点可以收敛到不同的零点。也许这是一个新的值得研究的地方。

看来，计算数学也是这样，光听理论无法实现大的突破，也没法产生好的想法，必须在实践应用中感受方法的过程，才能发现新的突破点。