线性空间的基本概念与定理1

线性空间的基本概念与定理

1.线性空间:给定集合$V$与数域$\mathbb{K}$，在$V$上定义加法运算$"+"$，以及数域$\mathbb{K}$与集合$V$之间的数乘运算，并要求上述加法运算满足交换律、结合律，存在零元、每一个元素的逆元，以及对数乘有如下性质：$1\alpha=\alpha$$k(\alpha+\beta)=k\alpha+K\beta$$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$$k(l\alpha)=kl\alpha$
则称集合$V$为一个线性空间。

2.线性空间元素的基本性质：零向量唯一；每一个元素的逆元也唯一；加法满足消去律$(\alpha+\beta=\alpha +\gamma \rightarrow \beta=\gamma)$；$0\alpha=\mathbf{0};$$k\mathbf{0}=\mathbf{0};$$(-1)\alpha=-\alpha.$

3.设$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$是线性空间$V$中的向量，如果存在不全为0的$k_1,k_2,\dots,k_n \in \mathbb{K}$,使得$$k_1\alpha_1+\dots+k_n\alpha_n=\mathbf{0},$$则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$线性相关，否则称为线性无关。(注意:某个线性空间中向量组的线性相关性与该线性空间所依赖的数域有关，例如复线性空间$\mathbb{C}$是依赖于数域$\mathbb{R}$的线性空间，则向量组$\{1,i\}$线性无关，而如果复线性空间$\mathbb{C}$是依赖于数域$\mathbb{C}$的线性空间,那么向量组$\{1,i\}$线性相关，因为$1\times1+i\times i=0$)

4.如果向量组只有一个非零向量，则该向量组线性无关；如果向量组还有零向量，则该向量组线性相关。

5.包含线性相关向量组的向量组（即该向量组的部分向量组线性相关）一定线性相关；如果向量组线性无关，则该向量组的任意部分向量组一定线性无关。

6.一个向量组线性相关等价于：向量组中有一个向量可以写成其余向量的线性表出。

7.一个向量写成一个向量组的线性表出，则表出方式唯一等价于那个向量组线性无关。

8.线性表出的传递性：现有三个向量组A,B,C,如果A中任意向量可以由B线性表出，B中任意向量可以由C线性表出，则A中任意向量可以由C线性表出.