有限群的有限维线性表示的不可约分解定理

**有限群的有限维线性表示的不可约分解定理**

关于这个定理，丘维声老师的讲解十分精彩：

群的线性表示的结构（五）_哔哩哔哩_bilibili

群的线性表示的结构（六）_哔哩哔哩_bilibili

 以下是我的总结：

该定理的表述如下：有限群$G$，在特征不能整除$|G|$的域$K$上的任意一个有限维线性表示都可以分解成有限个不可约线性表示。

讨论这个定理之前，我们来给出几个基本定义：

定义1（群的线性表示）：群$G$，$\mathbb{K}$上的线性空间$(\neq\{\mathbb{0}\})$，则$G$到$GL(V)$的群同态$\varphi$称为$G$在$\mathbb{K}$上的一个线性表示(简记为$\mathbb{K}-$表示)，记为$(\varphi,V)$，$V$称为表示空间，且记表示空间的维数为表示的维数，即：$dim_\mathbb{K} V=deg \varphi$

定义2（子表示）：设$(\varphi,V)$为群$G$的一个$\mathbb{K}-$表示，若对$\forall g \in G$，$V$的子空间$U$是$\varphi(g)-$不变子空间，则称$U$是表示$\varphi$的不变子空间或$G$不变子空间，于是$(\varphi_U,U)$为群$G$的一个$\mathbb{K}-$表示，且称其为$(\varphi,V)$的一子表示。

定义3（表示的直和）：设$(\varphi,V)$为群$G$的一个$\mathbb{K}-$表示，$U$与$W$都是$G$不变子空间，且$V=U\oplus W$，则称$W$为$U$在$V$中的$G$不变补空间，且称$\varphi=\varphi_U\oplus \varphi_W$，即$\varphi$为子表示$\varphi_U$与$\varphi_W$的直和。

定义4（不可约表示）：设$(\varphi,V)$为群$G$的一个$\mathbb{K}-$表示，若$V$的$G$不变子空间只有$\{\mathbb{0}\}$和自身$V$（即无非平凡的$G$不变子空间），则称$(\varphi,V)$为不可约表示，否则为可约的。

定义5（完全可约）：设$(\varphi,V)$为群$G$的一个$\mathbb{K}-$表示，如果对$V$的每一个$G$不变子空间$U$都有$U$在$V$的$G$不变子空间，则称$(\varphi,G)$是完全可约的。

**注意：不可约表示一定是完全可约的**(因为他只有自身和零空间作为$G$不变子空间，而这两个空间直和)

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我们讨论完全可约的表示的原因是因为其子表示对"完全可约"性质的继承性：

命题1：群$G$的完全可约表示$(\varphi,V)$的任一个子表示也是完全可约的。

由上述命题，经过简单分析可以知道：

命题2：群$G$的有限维完全可约表示一定可以分解成有限多个不可约子表示的直和。

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我们现在想讨论群线性表示的结构，而有了上述命题之后，我们在想是否群$G$的任意一个有限维线性表示都是完全可约的呢？因为如果确实如此的话，那上述命题可以进一步地变成：群$G$的有限维表示一定可以分解成有限多个不可约子表示的直和。这样就可以将对群$G$的有限维表示的研究，转化为若干个不可约子表示的研究。

因为**不可约表示一定是完全可约的**，所以我们下面只考虑可约的情况，下面为了讨论方便，只考虑有限群的情况。

假设设$(\varphi,V)$为有限群$G$的一个$\mathbb{K}-$表示，取$V$的任一个非平凡的$G$不变子空间$U$，由线性代数的知识，可以得到补空间$U^,:V=U\oplus U^,=Ker \mathbf{P}_{U^,} \oplus Im \mathbf{P}_{U^,}$（$\mathbf{P}_{U^,}$为$V \rightarrow U^,$的平行投影）

补充知识1：如果$\mathbf{B} \varphi(g)=\varphi(g)\mathbf{B}(\forall g \in G)$，即$\mathbf{B}=\varphi(g)\mathbf{B} \varphi(g)^{-1}(\forall g \in G)$，则$Im\mathbf{B}$为$\varphi(g)$的不变子空间$(\forall g \in G)$，从而$Im\mathbf{B}$为$G$不变子空间。

现构造:$$\mathbf{B}=\sum_{h \in G}\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}$$
则对$\forall g \in G$，有$\varphi(g)\mathbf{B} \varphi(g)^{-1}$
$$=\sum_{h \in G}\varphi(gh)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(gh)^{-1}$$
$$=\sum_{gh \in G}\varphi(gh)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(gh)^{-1}=\mathbf{B}$$

因此，$Im \mathbf{B}$是$G$不变子空间。那么$Im \mathbf{B}$是$U$的补空间吗？

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补充知识2：若$\mathbf{B}^2=\mathbf{B}$，则$V=ker\mathbf{B} \oplus Im\mathbf{B}$

由这个结论，如果我们可以证明$\mathbf{B}^2=\mathbf{B}$且$U=ker \mathbf{B}$，那就可以得到$V = U \oplus Im\mathbf{B}$

由于$\forall u \in U,\mathbf{B}u=\sum_{h \in G}\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}u=\sum_{h \in G}\varphi(h)0=0,$于是$U \subseteq Ker \mathbf{B}$.

下面我们只要证明“$\forall v \in V,v-\mathbf{B}v \in U$”，就可以得到"$Ker \mathbf{B} \subseteq U$,$\mathbf{B}^2=\mathbf{B}$"。实际上，$v-\mathbf{B}v \in U \subseteq Ker \mathbf{B}$，所以$\mathbf{B}(v-\mathbf{B}v)=0$，即$\mathbf{B}^2=\mathbf{B}$；而$\alpha=\alpha -\mathbf{B}\alpha \in U(\forall \alpha \in Ker \mathbf{B})$，即$Ker \mathbf{B} \subseteq U$。

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补充知识3：$\varphi(h)^{-1}v-\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v \in U (\forall h \in G)$

所以：$\sum_{h \in G}(v-\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v)=\sum_{h \in G}\varphi(h)(\varphi(h)^{-1}v-\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v)\in U$

而目标式$v-\mathbf{B}v=v-\sum_{h \in G}\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v$，所以如果我们可以证明这个式子等于常数倍的$\sum_{h \in G}(v-\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v)$，则可以得到目标式$\in U$。

而$\sum_{h \in G}v=(1+1+\dots+1)v=\vert G \vert \cdot 1 \cdot v$，（1为$\mathbb{K}$的单位元），于是如果$\vert G \vert \cdot 1 \neq 0$（$0$为$\mathbb{K}$的零元），则"$v = (\vert G \vert \cdot 1)^{-1}\sum_{h \in G}v$"

而$\vert G \vert \cdot 1 \neq 0$等价于域$\mathbb{K}$的特征不能整除$\vert G \vert$。

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根据上述分析，我们令$\mathbf{B}^,=(\vert G \vert \cdot 1)^{-1}\mathbf{B}=(\vert G \vert \cdot 1)^{-1}\sum_{h \in G}\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}$

而对于新定义的这个$\mathbf{B}^,$，依然有$\mathbf{B}^,=\varphi(g)\mathbf{B}^, \varphi(g)^{-1}(\forall g \in G)$与$U \subseteq Ker \mathbf{B}^,$（这是有关$\mathbf{B}$的结论）

并且，$\forall v \in V,v-\mathbf{B}^,v=v-(\vert G \vert \cdot 1)^{-1}\sum_{h \in G}\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v$
$$=(\vert G \vert \cdot 1)^{-1}(\vert G \vert \cdot 1)v-(\vert G \vert \cdot 1)^{-1}\sum_{h \in G}\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v$$
$$=(\vert G \vert \cdot 1)^{-1}\sum_{h \in G}v-(\vert G \vert \cdot 1)^{-1}\sum_{h \in G}\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v$$
$$=(\vert G \vert \cdot 1)^{-1}\sum_{h \in G}(v-\varphi(h)\mathbf{P}_{U^,}\varphi(h)^{-1}v) \in U$$

在根据上面的分析，有：$\mathbf{B}^,$，${\mathbf{B}^,}^2=\mathbf{B}^,$且$U=ker\mathbf{B}^,$，于是：$V = U \oplus Im\mathbf{B}^,$，且$\mathbf{B}^,$为$G$不变子空间，所以$\mathbf{B}^,$为$U$在$V$中的$G$不变补空间。

可以看到，上面结论成立的一个关键的充分条件是：域$\mathbb{K}$的特征不能整除$\vert G \vert$。
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在此我们总结一下：
有限群$G$，在特征不能整除$|G|$的域$K$上的任意一个线性表示都是完全可约的线性表示。

再结合命题2，得到本文的核心定理：
**有限群$G$，在特征不能整除$|G|$的域$\mathbb{K}$上的任意一个有限维线性表示都可以分解成有限个不可约线性表示。**