子空间和与交的分配率不成立

在线性空间的的理论中有子空间和与交的概念：
假设有数域$\mathbb{K}$上线性空间$V$，$V_1,V_2$为$V$的子空间，则定义：

子空间的和：$V_1+V_2=\{v_1+v_2|v_1 \in V_1,v_2 \in V_2 \}$

子空间的交：$V_1 \cap V_2=\{v|v\in V_1,v \in V_2 \}$

可以证明，任意子空间的交与和依然是一个子空间。

对于这两个运算，很多人会认为有如下的分配率：

$$(V_1+V_2)\cap U=V_1 \cap U + V_2 \cap U$$

而这个分配率并不正确，我们可以举出如下反例：

在线性空间$\mathbb{R}^2$中，子空间$V_1,V_2$分别为$x$轴与$y$轴两条直线，即$\{(x,0)| x\in \mathbb{R}\}$与$\{(0,y)| y\in \mathbb{R}\}$，子空间$U$为直线$\{(x,y)|x=y，x,y\in \mathbb{R} \}$。

显然$V_1 \cap U$与$V_2 \cap U$都是$\emptyset$，而$(V_1+V_2)\cap U=\mathbb{R}^2 \cup U =U$，显然上述分配率并不正确。

实际上，仅有以下关系式成立：
$$(V_1+V_2)\cap U \supseteq V_1 \cap U + V_2 \cap U$$
而这这是很容易证明的。

但是对于**一种特殊情况，我们得到等号的成立：
子空间$V_1 \subseteq U$**

证明如下：

在这种情况下，取$\forall v_1+v_2 \in (V_1+V_2)\cap U$，其中$v_1 \in V_1,v_2 \in V_2$，

则$v_1+v_2 \in U$，

又$v_1 \in V_1 \subseteq U$，

则有$v_2 \in U$，

于是$v_1 \in V_1 \cap U$且$v_2 \in V_2 \cap U$，即$$v_1+v_2 \in V_1 \cap U + V_2 \cap U$$
所以：$$(V_1+V_2)\cap U=V_1 \cap U + V_2 \cap U$$

可以看到，上述证明比较关键的是“由于$v_1 \in V_1 \subseteq U$，得到$v_2 \in U$”，**这正是源自于前提条件：$V_1 \subseteq U$**