dfs序介绍

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Dfs序是一棵树从根节点出发，dfs遍历时依次经过的节点序列。

 

 

如上图的dfs序为：

1，2，3，6，4，5，7

或者

1，4，5，7，2，3，6

或者

1，4，2，6，3，5，7

……

总之可以有很多种，具体看输入时的建边顺序或者处理方式等因素。

不同的dfs序一般不会影响解题正确性和效率。

 

性质

 

对于一棵树的dfs序而言，同一棵子树所对应的一定是dfs序中连续的一段。

这个性质非常重要，在利用dfs序来解题的过程中，这个不可缺少！

 

 

 

 

证明： 在dfs遍历时，当进入一个节点之后，dfs会先把当前的节点的所有子节点都遍历一遍，然后在回溯到当前节点，在这个过程中，它的所有子孙节点一定都被访问过了，而且在这之前，它的任何一个子孙节点都不可能被访问过。然后它才离开当前子树，回到父亲节点，再访问其他子树，所以同一子树的节点在dfs序中一定是连续的一段。

 

不妨可以看着下面的这棵树来试试~

 

 

 

实现

 

Dfs，顺便记录下访问的顺序。比如设dfn[x]为第x个访问的节点。

 

那么怎么获取当前节点在dfs序中的范围呢？

稍微具体一点的过程：我们只要设一个时间 time，一开始是0，每遍历到一个新的节点就+1。那么，当前节点的访问时间范围就是当前节点的访问标号范围。设in[x]为进入当前节点时的时间，out[x]为离开当前节点时的时间，那么子树x在dfs序里所对应的范围就是in[x]~out[x]。

 

但是，我们在具体操作的过程中，往往不记录dfs序，因为重要的往往是范围。注意，in[x]是第一次访问节点x的时间，in[x]≠dfn[x]，而dfn[in[x]]=x。

 

用途

 

dfs序的主要作用就是将一个子树变成序列上的一个连续区间。

类似于“修改某某节点，询问包含节点到根路径的最大/最小/sum”等的一系列“长”在树上的像线段树一样的问题很多都能够通过dfs序得到解决。

 

例题

 

HDU5692 Snacks  题解

给定一棵n个点的有根树，每个点有一个点权。根节点为0，节点标号为0~n-1。

定义最大路径为：从根出发走到某个点，点权和最大的路径。

现在有Q次操作，每种是以下两种之一：

(1).将点x的点权变成v。

(2).求经过某一个点的最大路径的点权和。

 

POJ3321 Apple Tree  题解写好了，有兴趣可以去这里逛逛~

给定一棵n个点的有根苹果树，每个点上最多只有一个苹果，现在有Q次操作：

(1).修改一个点上的苹果个数。

(2).求某个子树内有几个苹果。

n,Q<=10^5.