算法基础课 第一讲
前缀
前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和
一般用与求某个区间的值
题目描述
输入一个长度为 n的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m行，每行输出一个询问的结果。
我们很容易可以想到暴力解法，即遍历区间去求和，这样的时间复杂度为O(n*m)，如果n和m的数据量稍微大一点就有可能超时，而我们如果使用前缀和的方法来做的话就能够将时间复杂度降到O(n+m),大大提高了运算效率
#include <stdio.h>
const int N = 1e5 + 1;
int a[N];
int main() {
int n, m, l, r;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int t;
scanf("%d", &t);
a[i] = a[i - 1] + t;
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", a[r] - a[l - 1]);
}
}
拓展到二维矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 qq个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
我们需要开2个数组：B(i,j)表示左上角(1,1)到右下角( i,j )所包围的矩阵元素的和，A(i,j)表示(i,j)该点的值
根据上图，可知 B(i,j)=B(i-1,j)+B(ij-1)-B(i-1,j-1)+A(i,j)
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1111;
int A[N][N], B[N][N];
int main() {
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
scanf("%d", &A[i][j]);
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
B[i][j] = B[i - 1][j] + B[i][j - 1] - B[i - 1][j - 1] + A[i][j];
}
}
for (int i = 0; i < q; i++) {
int x1, x2, y1, y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
printf("%d\n", B[x2][y2] - B[x1 - 1][y2] - B[x2][y1 - 1] + B[x1 - 1][y1 - 1]);
}
}
差分
差分是指某序列的相邻2个数的差值，类似于数学中的求导和积分
一般用于对某个区间进行计算
题目描述
输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。
我们很容易可以想到暴力解法，即遍历区间去求运算，这样的时间复杂度为O(n*m)，如果n和m的数据量稍微大一点就有可能超时，而我们如果使用差分的方法来做的话就能够大大提高了运算效率
我们需要开2个数组：a(i) 表示第i个数 b(i)=a(i)-a(i-1) 即是a(i)于a(i-1)的差值
#include <stdio.h>
int a[100001],b[100001];
void cf(int l, int r, int c) {
b[l] += c;
b[r + 1] -= c;
}
int main() {
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) cf(i, i, a[i]);
while (m--) {
int l, r, c;
scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
cf(l, r, c);
}
//对b[i]进行累加就能得到变化后的序列
for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ",b[i]);
}
拓展到二维
题目描述
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵
b(x1,y1) +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。 b(x1,y2+1)-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b(x2+1,y1)- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。 b(x2+1,y2+1)+=c; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。
#include <stdio.h>
const int N = 1111;
int a[N][N], b[N][N];
void cf(int x1, int y1, int x2, int y2 ,int c) {
b[x1][y1] += c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main() {
int n, m,q;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cf(i, j, i, j, a[i][j]);
}
}
while (q--) {
int x1, y1, x2, y2, c;
scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
cf(x1, y1, x2, y2, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", b[i][j]);
puts("");
}
}
离散化
假如我们有一个序列，序列中值的个数较少，有时候有的题目需要我们以这些值为下标来操作，但是值的范围比较大，我们数组开不到这么大，这个时候就需要离散化的思想
离散化简单来说就是把一个序列的值一一映射到从0开始的连续的自然数
比如 - 10的9次方到 + 10的9次方范围内的的n(n<10的五次方)个数
我们将这n个数一一映射到从0到n-1连续的n个数
题目描述
假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。
现在，我们首先进行 n次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加 c。
接下来，进行 m次询问，每个询问包含两个整数 l和 r，你需要求出在区间 了（l,r） 之间的所有数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 n 行，每行包含两个整数 x 和 c。
再接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r。
输出格式
共 m行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 10;
int a[N], s[N];
int n, m;
typedef pair<int, int >PII;
vector<int>alls;//存的是序列的值，序列值离散化映射后对应的数是其值在数组a的下标
vector<PII>add, query;
//二分查找,查找大于等于当前数的最小值映射对应的数
int find(int x) {
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x, c;
cin >> x >> c;
add.push_back({ x,c });
alls.push_back(x);
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
int l, r;
cin >> l >> r;
alls.push_back(l);
alls.push_back(r);
query.push_back({ l,r });
}
sort(alls.begin(), alls.end());//排序，为二分查找制造条件
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());//去重
// 重点
for (auto item : add) {
int x = find(item.first);
a[x] += item.second;
}
//以下部分运用了前缀和
for (int i = 1; i <=alls.size(); i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
for (auto item:query) {
int l, r;
l = find(item.first), r = find(item.second);
printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
}
}
区间合并
题目描述
给定 n个区间 （li,ri）要求合并所有有交集的区间。
注意如果在端点处相交，也算有交集。
输出合并完成后的区间个数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含两个整数 ll和 r。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示合并区间完成后的区间个数。
例如：[1,3] 和 [2,6] 可以合并为一个区间 [1,6]。
思路
- 贪心
- 具体就是按着起点排序
- 如果前一个终点< 下一个起点。那么单独成为一个区间。更新 起点
- 如果前一个终点>= 下一个起点. max(end1,end2)。更新终点
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef pair<int, int>PII;
void merge(vector<PII>& segs) {//使用引用可以将原数组传入函数，不用复制一份，节省时间。
vector<PII>res;
sort(segs.begin(), segs.end());
int st = -2e9, ed = -2e9;
for (auto seg : segs) {
if (ed < seg.first) {
if (st != -2e9) res.push_back({ st,ed });
st = seg.first, ed = seg.second;
}
else ed = max(ed, seg.second);
}
if (st != -2e9) res.push_back({ st,ed });//没有if(st != -2e9)的判断，输入数据为空区间时，会把(-2e9, -2e9) 插入res,上面的-2e9原理一样，防止插入的是空区间
segs = res;
}
int main() {
vector<PII>segs;
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int l, r;
cin >> l >> r;
segs.push_back({ l,r });
}
merge(segs);
printf("%d", segs.size());
}
