面试题集锦_3

  写一个程序，要求功能：求出用1,2,5这三个不同个数组合的和为100的组合个数。

如：100个1是一个组合，5个1加19个5是一个组合。。。

最容易想到的程序是：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int num=0;
    for(int x=0;x<=100;x++)
        for(int y=0;y<=50;y++)
            for(int z=0;z<=20;z++)
                if(x+2*y+5*z==100)
                {
                    printf("%d\t%d\t%d",x,y,z);
                    printf("\n");
                    num++;
                }
                
    printf("%d",num);
}

但上面这个程序一共要循环100*50*20次，效率太低了。

通过x+2y+5z=100找其中的规律。

x+5z=100-2y,由此可知，x+5z是偶数，且(x+5z)<=100

由此对z作循环，求x的可能值如下：

z=0;x=100(y=0),98(y=1),96(y=2),.....0(y=50)

z=1;x=95(y=0),93(y=1),91(y=2)......1(y=47)

.......

z=19;x=5(y=0),3(y=1),1(y=2)

z=20;x=0(y=0)

从上面的规律可以看出，组合总数为100以内的偶数+95内的奇数+90以内的偶数+。。。+5以内的奇数+1.

即为：51+48+。。。。+3+1

某个偶数m以内的偶数的个数（包括0）可以表示为(m+2)/2

某个奇数m以内的奇数的个数也可以表示为(m+2)/2

所以组合数也就可以很轻松地算出来

#include<stdio.h>
int main()
{
    int num=0;
    for(int m=0;m<=100;m+=5)
        num+=(m+2)/2;
    printf("%d\n",num);
}

再将这道题与百钱买百鸡的问题进行比较。

百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题，题目很简单：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱，用100文钱买一百只鸡,其中公鸡，母鸡，小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡，小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。

 简单的算法：

#include<stdio.h>
int main()
{
    for(int x=1;x<20;x++)
        for(int y=1;y<33;y++)
        {
            int z=100-x-y;
            if((z%3==0)&&(x*5+y*3+z/3==100))
            {
                printf("公鸡：%d,母鸡：%d,小鸡：%d",x,y,z);
                printf("\n");
            }
        }
    
}

时间复杂度较大，需要优化。

分析：

有两个方程式：

x+y+z=100    （1）

5x+3y+z/3=100    （2）

联立两个方程组可得

7x+4y=100

y=(100-7x)/4

设x=4k (1=<k<5)

则y=25-7k

z=75+3k （代入（1）式得）

再通过第二个方程式，算的k的值，k的值算出来了，x,y,z也就相应地算出来了。

初中做过的联立方程式求解的问题，应该很熟悉了。

#include<stdio.h>
int main()
{
    for(int k=1;k<4;k++)
        if((5*4*k+3*(25-7*k)+(75+3*k)/3)==100)
        {
         printf("公鸡：%d,母鸡：%d,小鸡：%d",4*k,(25-7*k),75+3*k);
         printf("\n");
        }    
}

总结：
  这类题属于求方程式的解的问题，相对来说，第二题比较好解，也能较容易地想到优化的办法，第一道题，只有一个方程式，然后去找规律，说实话，不好好分析，还真看不出来。