（转载）深度学习基础（7）——递归神经网络

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转载在此的目的是自己做个笔记，日后好复习，如侵权请联系我！！

　　在前面的文章中，我们介绍了循环神经网络，它可以用来处理包含序列结构的信息。然而，除此之外，信息往往还存在着诸如树结构、图结构等更复杂的结构。对于这种复杂的结构，循环神经网络就无能为力了。本文介绍一种更为强大、复杂的神经网络：递归神经网络 (Recursive Neural Network, RNN)，以及它的训练算法BPTS (Back Propagation Through Structure)。顾名思义，递归神经网络（巧合的是，它的缩写和循环神经网络一样，也是RNN）可以处理诸如树、图这样的递归结构。在文章的最后，我们将实现一个递归神经网络，并介绍它的几个应用场景。

什么是递归神经网络？

　　因为神经网络的输入层单元个数是固定的，因此必须用循环或者递归的方式来处理长度可变的输入。循环神经网络实现了前者，通过将长度不定的输入分割为等长度的小块，然后再依次的输入到网络中，从而实现了神经网络对变长输入的处理。一个典型的例子是，当我们处理一句话的时候，我们可以把一句话看作是词组成的序列，然后，每次向循环神经网络输入一个词，如此循环直至整句话输入完毕，循环神经网络将产生对应的输出。如此，我们就能处理任意长度的句子了。入下图所示：

　　然而，有时候把句子看做是词的序列是不够的，比如下面这句话『两个外语学院的学生』：

　　上图显示了这句话的两个不同的语法解析树。可以看出来这句话有歧义，不同的语法解析树则对应了不同的意思。一个是『两个外语学院的/学生』，也就是学生可能有许多，但他们来自于两所外语学校；另一个是『两个/外语学院的学生』，也就是只有两个学生，他们是外语学院的。为了能够让模型区分出两个不同的意思，我们的模型必须能够按照树结构去处理信息，而不是序列，这就是递归神经网络的作用。当面对按照树/图结构处理信息更有效的任务时，递归神经网络通常都会获得不错的结果。

　　递归神经网络可以把一个树/图结构信息编码为一个向量，也就是把信息映射到一个语义向量空间中。这个语义向量空间满足某类性质，比如语义相似的向量距离更近。也就是说，如果两句话（尽管内容不同）它的意思是相似的，那么把它们分别编码后的两个向量的距离也相近；反之，如果两句话的意思截然不同，那么编码后向量的距离则很远。如下图所示：

　　从上图我们可以看到，递归神经网络将所有的词、句都映射到一个2维向量空间中。句子『the country of my birth』和句子『the place where I was born』的意思是非常接近的，所以表示它们的两个向量在向量空间中的距离很近。另外两个词『Germany』和『France』因为表示的都是地点，它们的向量与上面两句话的向量的距离，就比另外两个表示时间的词『Monday』和『Tuesday』的向量的距离近得多。这样，通过向量的距离，就得到了一种语义的表示。

　　上图还显示了自然语言可组合的性质：词可以组成句、句可以组成段落、段落可以组成篇章，而更高层的语义取决于底层的语义以及它们的组合方式。递归神经网络是一种表示学习，它可以将词、句、段、篇按照他们的语义映射到同一个向量空间中，也就是把可组合（树/图结构）的信息表示为一个个有意义的向量。比如上面这个例子，递归神经网络把句子"the country of my birth"表示为二维向量[1,5]。有了这个『编码器』之后，我们就可以以这些有意义的向量为基础去完成更高级的任务（比如情感分析等）。如下图所示，递归神经网络在做情感分析时，可以比较好的处理否定句，这是胜过其他一些模型的：

　　在上图中，蓝色表示正面评价，红色表示负面评价。每个节点是一个向量，这个向量表达了以它为根的子树的情感评价。比如"intelligent humor"是正面评价，而"care about cleverness wit or any other kind of intelligent humor"是中性评价。我们可以看到，模型能够正确的处理doesn't的含义，将正面评价转变为负面评价。

　　尽管递归神经网络具有更为强大的表示能力，但是在实际应用中并不太流行。其中一个主要原因是，递归神经网络的输入是树/图结构，而这种结构需要花费很多人工去标注。想象一下，如果我们用循环神经网络处理句子，那么我们可以直接把句子作为输入。然而，如果我们用递归神经网络处理句子，我们就必须把每个句子标注为语法解析树的形式，这无疑要花费非常大的精力。很多时候，相对于递归神经网络能够带来的性能提升，这个投入是不太划算的。

　　我们已经基本了解了递归神经网络是做什么用的，接下来，我们将探讨它的算法细节。

递归神经网络的前向计算

　　接下来，我们详细介绍一下递归神经网络是如何处理树/图结构的信息的。在这里，我们以处理树型信息为例进行介绍。

　　递归神经网络的输入是两个子节点（也可以是多个），输出就是将这两个子节点编码后产生的父节点，父节点的维度和每个子节点是相同的。如下图所示：

　　c1和c2分别表示两个子节点的向量，p是表示父节点的向量。子节点和父节点组成的一个全连接神经网络，也就是子节点的每个神经元都和父节点的每个神经元两两相连。我们用矩阵W表示这些连接上的权重，他的维度将是d x 2d，其中，d表示每个节点的维度。父节点的计算公式可以写成：

　　在上式中，tanh是激活函数（当然也可以用其它的激活函数），b

　　举个例子，我们使用递归神经网络将{两个外语学校的学生}映射成一个向量，如下图：

　　最后得到的向量p3

式1就是递归神经网络的前向计算算法。它和全连接神经网络的计算没有什么区别，只是在输入的过程中需要根据输入的树结构依次输入每个子节点。

　　需要特别注意的是，递归神经网络的权重W

　　下面我们介绍适用于递归神经网络的训练算法，也就是BPTS算法。

误差项的传递

　　首先，我们先推导将误差从父节点传递到子节点的公式，如下图：

　　有了传递一层的公式，我们就不难写出逐层传递的公式：

权重梯度的计算

　　根据加权输入的计算公式：

　　因为循环神经网络的证明过程已经在（转载）深度学习基础（4）——卷积神经网络一文中给出，因此，递归神经网络{为什么最终梯度是各层梯度之和}的证明就留给读者自行完成了。

权重更新

　　如果使用梯度下降优化算法，那么权重更新公式为：

其中，ita是学习速率常数，把公式4带到上式，即可完成权重的更新，同理，偏置项的更新公式为：

　　把公式6带入到上式，即可完成偏置项的更新。

　　这就是递归神经网络的训练算法BPTS。由于我们有了前面几篇文章的基础，相信读者们理解BPTS算法也会比较容易。

递归神经网络的实现

　　现在，我们实现一个处理树型结构的递归神经网络。

在文件的开头，加入如下代码：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
from cnn import IdentityActivator

　　上述四行代码非常简单，没有什么需要解释的。IdentityActivator激活函数是在我们介绍卷积神经网络时写的，现在引用一下它。

我们首先定义一个树节点结果，这样，我们就可以用它保存卷积神经网络生成的整棵树：

class TreeNode(object):
    def __init__(self, data, children=[], children_data=[]):
        self.parent = None
        self.children = children
        self.children_data = children_data
        self.data = data
        for child in children:
            child.parent = self

　　接下来，我们把递归神经网络的实现代码都放在RecursiveLayer类中，下面是这个类的构造函数：

# 递归神经网络实现
class RecursiveLayer(object):
    def __init__(self, node_width, child_count, 
                 activator, learning_rate):
        '''
        递归神经网络构造函数
        node_width: 表示每个节点的向量的维度
        child_count: 每个父节点有几个子节点
        activator: 激活函数对象
        learning_rate: 梯度下降算法学习率
        '''
        self.node_width = node_width
        self.child_count = child_count
        self.activator = activator
        self.learning_rate = learning_rate
        # 权重数组W
        self.W = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
            (node_width, node_width * child_count))
        # 偏置项b
        self.b = np.zeros((node_width, 1))
        # 递归神经网络生成的树的根节点
        self.root = None

　　下面是前向计算的实现：

def forward(self, *children):
        '''
        前向计算
        '''
        children_data = self.concatenate(children)
        parent_data = self.activator.forward(
            np.dot(self.W, children_data) + self.b
        )
        self.root = TreeNode(parent_data, children
                            , children_data)

　　forward函数接收一系列的树节点对象作为输入，然后，递归神经网络将这些树节点作为子节点，并计算它们的父节点。最后，将计算的父节点保存在self.root变量中。

上面用到的concatenate函数，是将各个子节点中的数据拼接成一个长向量，其代码如下：

def concatenate(self, tree_nodes):
        '''
        将各个树节点中的数据拼接成一个长向量
        '''
        concat = np.zeros((0,1))
        for node in tree_nodes:
            concat = np.concatenate((concat, node.data))
        return concat

　　下面是反向传播算法BPTS的实现：

def backward(self, parent_delta):
        '''
        BPTS反向传播算法
        '''
        self.calc_delta(parent_delta, self.root)
        self.W_grad, self.b_grad = self.calc_gradient(self.root)
    def calc_delta(self, parent_delta, parent):
        '''
        计算每个节点的delta
        '''
        parent.delta = parent_delta
        if parent.children:
            # 根据式2计算每个子节点的delta
            children_delta = np.dot(self.W.T, parent_delta) * (
                self.activator.backward(parent.children_data)
            )
            # slices = [(子节点编号，子节点delta起始位置，子节点delta结束位置)]
            slices = [(i, i * self.node_width, 
                        (i + 1) * self.node_width)
                        for i in range(self.child_count)]
            # 针对每个子节点，递归调用calc_delta函数
            for s in slices:
                self.calc_delta(children_delta[s[1]:s[2]], 
                                parent.children[s[0]])
    def calc_gradient(self, parent):
        '''
        计算每个节点权重的梯度，并将它们求和，得到最终的梯度
        '''
        W_grad = np.zeros((self.node_width, 
                            self.node_width * self.child_count))
        b_grad = np.zeros((self.node_width, 1))
        if not parent.children:
            return W_grad, b_grad
        parent.W_grad = np.dot(parent.delta, parent.children_data.T)
        parent.b_grad = parent.delta
        W_grad += parent.W_grad
        b_grad += parent.b_grad
        for child in parent.children:
            W, b = self.calc_gradient(child)
            W_grad += W
            b_grad += b
        return W_grad, b_grad

　　在上述算法中，calc_delta函数和calc_gradient函数分别计算各个节点的误差项

下面是梯度下降算法的实现（没有weight decay），这个非常简单：

def update(self):
        '''
        使用SGD算法更新权重
        '''
        self.W -= self.learning_rate * self.W_grad
        self.b -= self.learning_rate * self.b_grad

　　以上就是递归神经网络的实现，总共100行左右，和上一篇文章的LSTM相比简单多了。

最后，我们用梯度检查来验证程序的正确性：

def gradient_check():
    '''
    梯度检查
    '''
    # 设计一个误差函数，取所有节点输出项之和
    error_function = lambda o: o.sum()
    rnn = RecursiveLayer(2, 2, IdentityActivator(), 1e-3)
    # 计算forward值
    x, d = data_set()
    rnn.forward(x[0], x[1])
    rnn.forward(rnn.root, x[2])
    # 求取sensitivity map
    sensitivity_array = np.ones((rnn.node_width, 1),
                                dtype=np.float64)
    # 计算梯度
    rnn.backward(sensitivity_array)
    # 检查梯度
    epsilon = 10e-4
    for i in range(rnn.W.shape[0]):
        for j in range(rnn.W.shape[1]):
            rnn.W[i,j] += epsilon
            rnn.reset_state()
            rnn.forward(x[0], x[1])
            rnn.forward(rnn.root, x[2])
            err1 = error_function(rnn.root.data)
            rnn.W[i,j] -= 2*epsilon
            rnn.reset_state()
            rnn.forward(x[0], x[1])
            rnn.forward(rnn.root, x[2])
            err2 = error_function(rnn.root.data)
            expect_grad = (err1 - err2) / (2 * epsilon)
            rnn.W[i,j] += epsilon
            print 'weights(%d,%d): expected - actural %.4e - %.4e' % (
                i, j, expect_grad, rnn.W_grad[i,j])
    return rnn

　　下面是梯度检查的结果，完全正确，OH YEAH！