2019牛客暑期多校训练营（第一场）A - Equivalent Prefixes（单调栈）

题意

给定两个 $n$ 个元素的数组 $a,b$ ，它们的前 $p$ 个元素构成的数组是“等价”的，求 $p$ 的最大值。“等价”的意思是在其任意一个子区间内的最小值相同。 $[link]$

分析

这题有两种做法，笛卡尔树和单调栈，这里暂且只介绍单调栈的做法。

我们先假设 $p=i$ 成立，考虑新加进来的 $i+1$ ，如果以 $i+1$ 为右端点构成的所有区间最小值相同，那么 $p$ 就可以更新为 $i+1$ (这样的话就可以通过小区间的最小值位置相同依次证明大区间的最小值位置相同)。或者换句话说， $i+1$ 处的值对前面区间最小值造成的影响相同的话，就认为 $p=i+1$ 成立。

考虑使用单调栈去做（由于是最小值我们维护一个递增的单调栈）。每次单调栈中的元素会回答以栈顶元素为结尾的区间的最小值是多少。

比如数组：
2,4,3,5,1

前1个元素的单调栈：
{ {2,1} }
意思是[1,1]的最小值是2

前2个元素的单调栈：
{ {2,1}, {4,2} }
意思是[1,2]的最小值是2，[2,2]的最小值是4

前3个元素的单调栈：
{ {2,1}, {3,3} }
意思是[1,3]的最小值是2，[2,3]的最小值是3，[3,3]的最小值是3

前4个元素的单调栈：
{ {2,1}, {3,3}, {5,4} }
意思是[1,4]的最小值是2，[2,4]的最小值是3，[3,4]的最小值是3，[4,4]的最小值是5

前5个元素的单调栈：
{ {5,1} }
意思是[x,5]的最小值都是1

两个“等价”的数组单调栈里元素个数肯定相同，我们把 $i+1$ 所在的值加进去的时候之后会有进栈或者还有出栈的操作，所以每次只需要比较单调栈的大小就可以知道 $i+1$ 造成的影响是否相同，即新加的元素是某能让数组保持“等价”。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e5+5;
int a[maxn], b[maxn], sta[maxn], stb[maxn];
int n, topa, topb;

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n)) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]);
        int ans = 0;
        topa = topb = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            while(topa&&a[sta[topa]]>=a[i]) topa--;
            sta[++topa] = i;
            while(topb&&b[stb[topb]]>=b[i]) topb--;
            stb[++topb] = i;
            if(topa==topb) ans++;
            else break;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    
}