[POJ2823] Sliding Window 「单调队列」
我们从最简单的问题开始:
给定一个长度为N的整数数列a(i),i=0,1,...,N-1和窗长度k.
要求:
f(i) = max{ a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i) },i = 0,1,...,N-1
问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动,求窗里面所包含的数的最大值。
解法一:
很直观的一种解法,那就是从数列的开头,将窗放上去,然后找到这最开始的k个数的最大值,然后窗最后移一个单元,继续找到k个数中的最大值。
这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较,复杂度为O(N*k)。
那么有没有更快一点的算法呢?
解法二:
我们知道,上一种算法有一个地方是重复比较了,就是在找当前的f(i)的时候,i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢?当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以,这就要用到单调递减队列。
单调递减队列是这么一个队列,它的头元素一直是队列当中的最大值,而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素,可以从队列的两端删除元素。
1.首先看插入元素:为了保证队列的递减性,我们在插入元素v的时候,要将队尾的元素和v比较,如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素,然后继续将新的队尾的元素与v比较,直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。
2.队尾的删除刚刚已经说了,那么队首的元素什么时候删除呢?由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值,所以当队首的元素的索引或下标小于 i-k+1的时候,就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了,因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]<i-k+1时,将队首元素删除。
从上面的介绍当中,我们知道,单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值,而且要保存元素的索引(当然在实际应用中我们可以只需要保存索引,而通过索引间接找到当前索引的值)。
为了让读者更明白一点,我举个简单的例子。
假设数列为:8,7,12,5,16,9,17,2,4,6. N=10,k=3.
那么我们构造一个长度为3的单调递减队列:
首先,那8和它的索引0放入队列中,我们用(8,0)表示,每一步插入元素时队列中的元素如下:
0:插入8,队列为:(8,0)
1:插入7,队列为:(8,0),(7,1)
2:插入12,队列为:(12,2)
3:插入5,队列为:(12,2),(5,3)
4:插入16,队列为:(16,4)
5:插入9,队列为:(16,4),(9,5)
..........依此类推
那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素:8,8,12,12,16,16.......
Code
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#include <cstdio> #include<deque> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int MAX_N=1e6+6; int a[MAX_N]; deque<int> p, q; int main() { int n, k; scanf("%d%d", &n, &k); for(int i = 1; i <= n; i++){ scanf("%d", &a[i]); } for(int i = 1; i <= n; i++){ while(!p.empty() && (a[p.back()]>a[i]) ) p.pop_back(); p.push_back(i); if(i - p.front() == k) p.pop_front(); if(i >= k) printf("%d ", a[p.front()]); } printf("\n"); for(int i = 1; i <= n; i++) { while(!q.empty() && (a[q.back()]<a[i]) ) q.pop_back(); q.push_back(i); if(i - q.front() == k) q.pop_front(); if(i >= k) printf("%d ", a[q.front()]); } }
if(i - q.front() == k) q.pop_front(); while(!p.empty() && (p.front()+k<=i) ) p.pop_front(); //在这里的作用一样的,只不过上面的看起来更简洁
附:
deque-双向队列的基本用法
q.front() //返回第一个元素的引用。 q.back() //返回最后一个元素的引用。 q.pop_back() //删除尾部的元素。不返回值。 q.pop_front() //删除头部元素。不返回值。 q.push_back(e) //在队尾添加一个元素e。 q.push_front(e) //在队头添加一个元素e。