AGC019F

题目大意

\(n\) + \(m\) 个问题,其中\(n\) 个答案是\(YES\),\(m\)个是\(NO\)的,你依次答题,每答一道,就可以立刻知道这道题的答案,求在最优策略下答错次数的期望,对\(998244353\)取模.

分析

很显然,如果当前有\(i\)个答案是\(YES\),\(j\)个答案是\(NO\),如果\(i!=j\)那么我们肯定选择剩余答案多的那个回答,如果\(i=j\),我们只能随便猜一个回答.

容易发现,我们猜测\(n+m\)次答案的过程,可以抽象成在平面上从\((n,m)\)走到\((0,0)\)的过程,我们假定\(YES\)为向左,\(NO\)为向下.

当我们不经过\(y=x\)这条直线时,\(i\)和\(j\)的大小关系是不会改变的,因此我们只会一直向一个方向走.

因此,假设我从\((n,m) (n!=m)\)第一次经过\(y=x\)是在点\((v,v)\),那么因为我只会向一个方向走,所以一定是答对了\(max(n, m)-v\)道问题.

考虑\(n=m\)的情况,显然,只要任意走一步,它就变成了刚才的\(n!=m\)的情况,走到下一个\(y=x\)的地方,假设是\((u,u)\),

也一定答对了\(n - u\)道题.

因此,如果不考虑在对角线处选择的答案的正误,从\((n,m)\)走到\((0,0)\)的期望步数就是\(max(n,m)\)的.

现在我们来考虑对角线的情况,在对角线上有\(1/2\)的概率产生\(1\)的贡献

我们只要暴力枚举通过对角线上每一个点的概率即可.