Codeforces 1523H. Hopping Around the Array 题解

题目链接：H. Hopping Around the Array

题目大意：给定一个序列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，在第 \(i\) 个点可以一步走到 \([i,i+a_i]\) 中的任何一个点，多次询问，每一次从 \(l\) 出发，你可以删掉不超过 \(k\) 的点，将剩下的点重标号，使得到达 \(r\) 的步数最少。
\(n\leq 2\times 10^4\)，\(k\leq 30\)。

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题解：首先考虑没有删除点应当怎么做，显然我们从第 \(i\) 个点出发，我们可以到达的点是 \([i,i+a_i]\)，那么我们假设我们下一步走到的点为 \(j(j\in [i,i+a_i])\)，那么 \(j\) 一定满足 \(\forall i\leq k\leq i+a_i,j+a_j\geq k+a_k\)。

如果我们删点，那么假设在第 \(i\) 个点，删除了 \(x\) 个点，那么显然会走到 \(i+a_i+x\)，否则的话就没有必要删这么多。

那么我们就很容易设计一个状态，设 \(f_{i,k,j}\) 表示从 \(j\) 出发，走 \(2^i\) 步，可以删除不超过 \(k\) 个点可以走到的最远点。

然后转移的时候我们直接暴力枚举 \(k_1,k_2\) 将 \(\max_{l=j}^{f_{i,k_1,j}} f_{i,k_2,l}\) 的答案贡献到 \(f_{i+1,k_1+k_2,j}\) 上，这部分可以通过数据结构来优化。

接下来把所有的询问离线一起处理，设 \(ans_{t,i,j}\) 表示第 \(i\) 个询问，删除 \(j\) 个点，在考虑 \(\geq 2^t\) 步的所有的情况下所能够到达的最靠右的不超过 \(r_i\) 的点是什么（由我们在题解开头给出的结论，容易得到这样贪心是正确的），初始的时候是 \(\forall 0\leq j\leq k_i, ans_{\log n,i,j}=l_i\)。

然后这一部分中间的转移我们同样可以通过数据结构优化。

时间复杂度为：\(O(nk\log^2 n + nk^2\log n)\)

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int Maxn=20000;
const int Maxd=17;
const int Maxk=30;
int n,q;
int nxt[Maxd+1][Maxk+1][Maxn+1];
int f_max[Maxk+1][Maxd+1][Maxn+1];
int a[Maxn+1];
int log_2[Maxn+1];
void init(){
	log_2[0]=-1;
	for(int i=1;i<=Maxn;i++){
		log_2[i]=log_2[i>>1]+1;
	}
}
int query_max(int k,int l,int r){
	int d=log_2[r-l+1];
	return std::max(f_max[k][d][l],f_max[k][d][r-(1<<d)+1]);
}
int ans[Maxn+1];
int pos_r[Maxn+1][Maxk+1];
struct Question{
	int l,r,k;
}qu[Maxn+1];
int main(){
	init();
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=Maxk;j++){
			nxt[0][j][i]=std::min(i+a[i]+j,n);
		}
	}
	for(int i=1;i<=17;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=0;k<=Maxk;k++){
				f_max[k][0][j]=nxt[i-1][k][j];
			}
		}
		for(int k=0;k<=Maxk;k++){
			for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
				for(int l=1;l+(1<<j)-1<=n;l++){
					f_max[k][j][l]=std::max(f_max[k][j-1][l],f_max[k][j-1][l+(1<<(j-1))]);
				}
			}
		}
		for(int k_1=0;k_1<=Maxk;k_1++){
			for(int k_2=0;k_1+k_2<=Maxk;k_2++){
				for(int j=1;j<=n;j++){
					nxt[i][k_1+k_2][j]=std::max(nxt[i][k_1+k_2][j],query_max(k_2,j,nxt[i-1][k_1][j]));
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		scanf("%d%d%d",&qu[i].l,&qu[i].r,&qu[i].k);
		for(int j=0;j<=qu[i].k;j++){
			pos_r[i][j]=qu[i].l;
		}
		if(qu[i].l==qu[i].r){
			ans[i]=-1;
			continue;
		}
	}
	for(int i=17;i>=0;i--){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=0;k<=Maxk;k++){
				f_max[k][0][j]=nxt[i][k][j];
			}
		}
		for(int k=0;k<=Maxk;k++){
			for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
				for(int l=1;l+(1<<j)-1<=n;l++){
					f_max[k][j][l]=std::max(f_max[k][j-1][l],f_max[k][j-1][l+(1<<(j-1))]);
				}
			}
		}
		for(int j=1;j<=q;j++){
			if(ans[j]==-1){
				continue;
			}
			static int np_r[Maxk+5];
			for(int k=0;k<=qu[j].k;k++){
				np_r[k]=0;
			}
			for(int k_1=0;k_1<=qu[j].k;k_1++){
				for(int k_2=0;k_1+k_2<=qu[j].k;k_2++){
					np_r[k_1+k_2]=std::max(np_r[k_1+k_2],query_max(k_2,qu[j].l,pos_r[j][k_1]));
				}
			}
			if(np_r[qu[j].k]<qu[j].r){
				ans[j]+=(1<<i);
				for(int k=0;k<=qu[j].k;k++){
					pos_r[j][k]=np_r[k];
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		printf("%d\n",ans[i]+1);
	}
	return 0;
}