洛谷P5064 [Ynoi2014] 等这场战争结束之后 题解

题目链接：P5064 [Ynoi2014] 等这场战争结束之后

题目大意：给你一个图，每个点有点权，最开始没有边。有一些操作：

• 添加一条 \(x\) 与 \(y\) 之间的双向边。
• 回到第 \(x\) 次操作后的状态（注意这里的 \(x\) 可以是 \(0\)，即回到初始状态）。
• 查询 \(x\) 所在联通块能到的点中点权第 \(y\) 小的值，如果不存在，那么输出 −1。

空间限制 19.53MB。

---

题解：离散化是不需要说的，不过离散化的时候不要合并相同的数就可以了。

显然发现二分查询 kth 不是很能做，所以直接考虑值域分块的做法，假设块长为 \(B\)。

我们发现我们能够把操作树建出来，于是最烦人的二操作我们只需要支持撤销就做完了。

因为值域分块求 kth 时需要知道整块内的数的个数和单点，所以分开来考虑。

然后我们先考虑单点怎么做：我们显然可以维护并查集，然后看一下这一个值所对应的位置是不是在当前的并查集内，单次查询是 \(O(\log n)\) 的，所以一次是 \(O(B\log n)\)。

接下来考虑整块，非常简洁的一个想法是对每一个点直接维护长度为 \(\frac{n}{B}\) 的数组就可以了，然后合并的时候暴力合并。

然而我们发现这样空间复杂度是 \(O(\frac{n^2}{B})\) 空间复杂度无法承受。

然后我们发现如果我们改成用链表启发式合并就变成 \(O(n\log n)\) 了，这非常优秀。

于是这里的合并的时间复杂度就是 \(O(B)\) 的。

于是我们取 \(B=\sqrt{\frac{n}{\log n}}\)，最后的时间复杂度就是 \(O(m\sqrt{n\log n})\)，空间复杂度就是 \(O(n\log n)\)。

代码：

#include <cstdio>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int Maxn=100000;
const int Maxb=350;
const int Maxv=(Maxn-1)/Maxb+1;
const int Mask=(1<<15)-1;
const int Maxk=15;
int n,m;
int a[Maxn+5],rnk[Maxn+5];
namespace Input{
	struct Node{
		int a,id;
		friend bool operator <(Node a,Node b){
			return a.a<b.a;
		}
	}d[Maxn+5];
	void init(){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&d[i].a);
			d[i].id=i;
		}
		std::sort(d+1,d+1+n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[d[i].id]=i;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			rnk[a[i]]=i;
		}
	}
	int query(int x){
		return d[x].a;
	}
}
namespace DSU{
	int find_belong(int x){
		return (x-1)/Maxb+1;
	}
	int find_bel_l(int x){
		return (x-1)*Maxb+1;
	}
	int find_bel_r(int x){
		return std::min(x*Maxb,n);
	}
	int fa[Maxn+5],sz[Maxn+5];
	struct List{
		int nxt;
		int val;
	}buc[Maxn*20+5];
	int id_tot;
	int head[Maxn+5];
	void merge_lis(int id_x,int id_y){
		if(head[id_y]==0){
			return;
		}
		int lst_x=-1;
		int pos_x=head[id_x],pos_y=head[id_y];
		int v_x=buc[pos_x].val&Mask,v_y=buc[pos_y].val&Mask;
		if(v_y<v_x){
			id_tot++;
			buc[id_tot].nxt=head[id_x];
			buc[id_tot].val=buc[pos_y].val;
			head[id_x]=id_tot;
			pos_y=buc[pos_y].nxt;
			lst_x=head[id_x];
		}
		else if(v_y==v_x){
			buc[pos_x].val=(((buc[pos_x].val>>Maxk)+(buc[pos_y].val>>Maxk))<<Maxk)|v_x;
			lst_x=pos_x;
			pos_x=buc[pos_x].nxt;
			pos_y=buc[pos_y].nxt;
		}
		else{
			lst_x=pos_x;
			pos_x=buc[pos_x].nxt;
		}
		while(pos_x&&pos_y){
			v_x=buc[pos_x].val&Mask,v_y=buc[pos_y].val&Mask;
			if(v_x==v_y){
				buc[pos_x].val=(((buc[pos_x].val>>Maxk)+(buc[pos_y].val>>Maxk))<<Maxk)|v_x;
				lst_x=pos_x;
				pos_x=buc[pos_x].nxt;
				pos_y=buc[pos_y].nxt;
			}
			else if(v_y<v_x){
				id_tot++;
				buc[id_tot].val=buc[pos_y].val;
				buc[lst_x].nxt=id_tot;
				buc[id_tot].nxt=pos_x;
				lst_x=id_tot;
				pos_y=buc[pos_y].nxt;
			}
			else{
				lst_x=pos_x;
				pos_x=buc[pos_x].nxt;
			}
		}
		while(pos_y){
			id_tot++;
			buc[id_tot].val=buc[pos_y].val;
			buc[lst_x].nxt=id_tot;
			lst_x=id_tot;
			pos_y=buc[pos_y].nxt;
		}
	}
	void del_lis(int id_x,int id_y){
		int pos_x=head[id_x],pos_y=head[id_y];
		while(pos_x&&pos_y){
			int v_x=buc[pos_x].val&Mask,v_y=buc[pos_y].val&Mask;
			if(v_x==v_y){
				buc[pos_x].val=(((buc[pos_x].val>>Maxk)-(buc[pos_y].val>>Maxk))<<Maxk)|v_x;
				pos_x=buc[pos_x].nxt;
				pos_y=buc[pos_y].nxt;
			}
			else if(v_y>v_x){
				pos_x=buc[pos_x].nxt;
			}
			else{
				assert(0);
			}
		}
	}
	int find(int x){
		if(x==fa[x]){
			return x;
		}
		return find(fa[x]);
	}
	std::pair<int,int> merge(int x,int y){
		int fa_x=find(x),fa_y=find(y);
		if(fa_x==fa_y){
			return std::make_pair(-1,-1);
		}
		if(sz[fa_x]<sz[fa_y]){
			std::swap(fa_x,fa_y);
			std::swap(x,y);
		}
		fa[fa_y]=fa_x;
		sz[fa_x]+=sz[fa_y];
		merge_lis(fa_x,fa_y);
		return std::make_pair(fa_x,fa_y);
	}
	void del(int x,int y){
		sz[x]-=sz[y];
		del_lis(x,y);
		fa[y]=y;
	}
	void init(){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			fa[i]=i;
			sz[i]=1;
			head[i]=++id_tot;
			buc[head[i]].val=(1<<Maxk)|find_belong(a[i]);
		}
	}
	int find_kth(int x,int k){
		x=find(x);
		int pos_x=head[x];
		while(pos_x&&k>(buc[pos_x].val>>Maxk)){
			k-=(buc[pos_x].val>>Maxk);
			pos_x=buc[pos_x].nxt;
		}
		if(pos_x==0&&k>0){
			return -1;
		}
		int bel=(buc[pos_x].val&Mask);
		for(int i=find_bel_l(bel);i<=find_bel_r(bel);i++){
			if(find(rnk[i])==x){
				k--;
				if(k==0){
					return i;
				}
			}
		}
		return -1;
	}
}
int ans[Maxn+5];
int q_u[Maxn+5],q_v[Maxn+5];
int head[Maxn+5],arrive[Maxn+5],nxt[Maxn+5],tot;
void add_edge(int from,int to){
	arrive[++tot]=to;
	nxt[tot]=head[from];
	head[from]=tot;
}
void work_dfs(int u){
	std::pair<int,int> tmp;
	if(q_u[u]!=0){
		if(q_v[u]<0){
			ans[u]=DSU::find_kth(q_u[u],-q_v[u]);
		}
		else{
			tmp=DSU::merge(q_u[u],q_v[u]);
		}
	}
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
		int v=arrive[i];
		work_dfs(v);
	}
	if(q_u[u]!=0){
		if(q_v[u]>0){
			if(tmp.first!=-1){
				DSU::del(tmp.first,tmp.second);
			}
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	Input::init();
	DSU::init();
	int lst=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int op;
		scanf("%d",&op);
		if(op==1){
			scanf("%d%d",&q_u[i],&q_v[i]);
			add_edge(lst,i);
		}
		else if(op==2){
			int x;
			scanf("%d",&x);
			add_edge(x,i);
		}
		else{
			scanf("%d%d",&q_u[i],&q_v[i]);
			q_v[i]=-q_v[i];
			add_edge(lst,i);
		}
		lst=i;
	}
	work_dfs(0);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(q_v[i]<0){
			if(ans[i]==-1){
				printf("%d\n",ans[i]);
			}
			else{
				printf("%d\n",Input::query(ans[i]));
			}
		}
	}
	return 0;
}