Codeforces 1427E. Xum 题解

题目链接：E. Xum

题目大意：洛谷

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题解：咋做法又和官方题解不一样啊。

一个很好想的思路是考虑每一次将最高位去掉转换成一个子问题，所以说我们的目标就是构造出最高位的那一个 1，即令 \(high_x\) 为 \(x\) 转换为二进制后最高的非 0 位，我们需要找到 \(2^{high_x}\) ，那么我们可以将 \(x\) 在二进制意义下向左平移使得平移最小的非 0 位与 \(high_x\) 相等，令这个数为 \(y\) ，然后再将两个数异或起来，这样的话我们就可以将 \(high_x\) 处置为 0，令这个数为 \(z\) ，然后再将 \(z+y\) 记为 \(p\)，紧跟着将 \(p\oplus x\) 得到 \(q\) ，最后在将 \(y+y\) 得到 \(h\) ，然后将 \(q\oplus h\) 得到 \(2^{high_x+1}\) ，然后在利用这一个数将 \(y\) 中在 \(>high_x\) 的位全部异或掉，这样的话我们就得到了 \(2^{high_x}\) ，可以将其转换成子问题。

可能上面讲得不太好理解，下面举一个例子（以下所有的数均为二进制下的数）：

x=000111
000111 + 000111 = 001110
001110 + 001110 = 011100
011100 ^ 000111 = 011011
011011 + 011100 = 110111
110111 ^ 000111 = 110000
011100 + 011100 = 111000
110000 ^ 111000 = 001000
011100 ^ 001000 = 010100
001000 + 001000 = 010000
010100 ^ 010000 = 000100
000111 ^ 000100 = 000011

至此，原问题成功地被转换为了规模更小的子问题。

时间复杂度以及操作数均为 \(O(\log^2 n)\) 。

代码：

#include <cstdio>
typedef long long ll;
const int Maxn=100000;
int x;
struct Answer{
	int op;
	ll a,b;
}ans[Maxn+5];
int len;
bool vis[60];
void work(int x){
	if(x==1){
		return;
	}
	int high;
	for(int i=19;i>=0;i--){
		if((x>>i)&1){
			high=i;
			break;
		}
	}
	ll tmp=x;
	for(int i=0;i<high;i++){
		ans[++len].op=0;
		ans[len].a=tmp;
		ans[len].b=tmp;
		tmp<<=1;
	}
	if(!vis[high+1]){
		ans[++len].op=1;
		ans[len].a=tmp;
		ans[len].b=x;
		ll now=tmp^x;
		ans[++len].op=0;
		ans[len].a=now;
		ans[len].b=tmp;
		ll sum=now+tmp;
		ans[++len].op=1;
		ans[len].a=sum;
		ans[len].b=x;
		sum^=x;
		ans[++len].op=0;
		ans[len].a=tmp;
		ans[len].b=tmp;
		now=(tmp<<1);
		ans[++len].op=1;
		ans[len].a=now;
		ans[len].b=sum;
		vis[high+1]=1;
	}
	for(int i=high+1;(1ll<<i)<=tmp;i++){
		if(!vis[i]){
			ans[++len].op=0;
			ans[len].a=(1ll<<(i-1));
			ans[len].b=(1ll<<(i-1));
			vis[i]=1;
		}
		if((tmp>>i)&1){
			ans[++len].op=1;
			ans[len].a=tmp;
			ans[len].b=(1ll<<i);
			tmp^=(1ll<<i);
		}
	}
	vis[high]=1;
	ans[++len].op=1;
	ans[len].a=x;
	ans[len].b=(1ll<<high);
	x^=(1ll<<high);
	work(x);
}
int main(){
	scanf("%d",&x);
	work(x);
	printf("%d\n",len);
	for(int i=1;i<=len;i++){
		if(ans[i].op==0){
			printf("%lld + %lld\n",ans[i].a,ans[i].b);
		}
		else{
			printf("%lld ^ %lld\n",ans[i].a,ans[i].b);
		}
	}
	return 0;
}