线性代数学习笔记——第五章(上)

线性代数学习笔记——第五章(上)

今天8月1日，也是竞赛培训的第一天，但是家里的网线被人给拔了，又霍霍了一天，算上之前，已经霍霍了一周了，我是不是要废了。趁着来网了，凑合着别人的笔记以及自己的笔记霍霍出了半篇笔记

矩阵的特征值与特征向量

• 特征值和特征向量只有方阵才有。

• 设A为n阶的方阵，对于一个数λ，若是存在非零列向量α，使得Aα=λα，那么λ为一个特征值，α为λ对应的特征向量。

  • 特征值λ可为零，但是特征向量α不能为零。

• Aα = λα \(\Rightarrow\) (λE - A)α = 0。(λE - A)X = 0 有非零解 \(\Longleftrightarrow\) |λE-A| = 0。

• 特征矩阵：λE - A。

• 特征方程：|λE - A|=0。

• 特征多项式：|λE - A|=0。

• 特征值（特征根）：λ。

• 若α为λ对应的特征向量，则cα也是，c为常数且不等于0。

  • α对应唯一一个λ，λ可对应多个α。
  • 找到一个特征向量就能找到无数特征向量。

• 若α₁，α₂都为λ对应的特征向量，则C₁α₁+C₂α₂是λ的特征向量。

• 解题大概思路：把某行尽可能化为零，提取含参数的公因子，按行展开(主要目的是为了降次)。

• 完整解题步骤：

  • 列出|λE - A|，检查10秒。
  • 通过|λE - A| = 0或|A - λE| = 0求出λ。
  • 一般利用按行展开或提公因子的技巧直接得到一个根，然后计算剩下的根。
  • 代入λ，得到矩阵λE - A。
  • 化为行简化阶梯型。
  • 写出同解方程组。
  • 对自由未知量取极大无关组，得到基础解系。
  • 引入c写出通解，所有c不能同时为0。

• N阶对角形矩阵的特征值就是主对角线上的元素。如下图：

  \(A=\left[\begin{matrix}a~11~&a~12~… &a~1n~\\&a~22~… &a~2n~\\…&…\\&&a~nn~\end{matrix}\right]\)

  \(|λE-A|=\left|\begin{matrix}λ - a~11~…………& -a~1n~\\λ - a~22~\\………&……\\&λ - a~nn~\end{matrix}\right|\)=(λ - a₁₁)(λ - a₂₂)……(λ - a_nn)=0

  \(\therefore\) λ ₁=a₁₁, λ ₂=a₂₂,…… λ _n=a_nn,

  
  
  
  

特征值与特征向量的性质

• A和A^T有相同的特征值，特征向量可能不同。

  |λE-A^T|=|λE^T-A^T|=|(λE-A)^T|=|λE-A|。

• 若矩阵A的每行元素绝对值之和<1，或者每列元素绝对值之和也<1，那么特征值的模小于1.

• 韦达定理：矩阵A的n个特征值λ₁λ₂λ₃λ₄……λ_n。

  • 特征值之和（矩阵的迹tra(A)）等于对角线元素之和。\(\sum_{i=1}^nλ~i~\)=\(\sum_{i=1}^na~ii~\)
  • 特征值之积等于行列式的值。λ₁λ₂λ₃λ₄……λ_n=|A|。

• n阶方阵A互不相同的特征值λ₁λ₂……λ_n对应的特征向量α₁α₂……α_n线性无关。

• A可逆 <=> |A| ≠ 0 <=> A所有特征根不等于0 <=> A满秩 <=> 行/列向量线性无关 <=> Ax = 0 只有零解。

• K重特征根对应的线性无关的特征向量的个数\(\leq\) k。

  • 若λ是A的单根，那么λ对应的线性无关的特征向量只有一个。
  • n阶矩阵A所有线性无关的特征向量的个数最多n个。

• 若λ时A的特征值：

  • kλ是kA的特征值。
  • λ^k是A^k的特征值。
  • 哈密顿一凯莱定理：f(A)的特征值为f(λ)，此处f代表多项式函数。
  • \(\frac{1}{λ}\)是A^-1的特征值。
  • \(\frac{|A|}{λ}\)是A^*的特征值。
  • 例题：
    • 2是A的特征值，谁是A⁵+6A²+A+3E的特征值？
      • A⁵α = 2⁵α
      • 6A²α = 62⁵α
      • Aα = 2α
      • 3Eα = 3 α
      • (A⁵+6A²+A+3E)α = (2⁵+6*2²+2+3)α