线性代数学习笔记——第四章

线性代数学习笔记——第四章

这几天和高中最好的同学聚了一下，也稍微的放纵了一下，导致缓了几天才恢复元气，在7月底的一天匆匆附上一篇笔记，里面有部分内容参考了CSDN的一位博主：

线性方程组

• 求秩过程类似于求方程组的解，初等变换类似于消元。
• 消元法解方程对应的3种初等行变换：
  • 交换两个方程。
  • 用非零数乘某方程。
  • 某方程的k倍加到另一方程。

线性方程组有解判定

• 系数矩阵A为方程组左边系数构成的矩阵。

• 增广系数矩阵：\(\overline{A}\)为系数矩阵A右边加上结果那一列，带有虚线，表示方法为\(\overline{A}\)。（举例）\(\overline{A}\)=\(\left[\begin{array}{rrrr|r}1&0&3&4&5\\0&1&1&1&2\\1&6&6&4&8\\4&2&1&-1&3\end{array}\right]\)

• 有解判定：

  • 在本章中，m为方程组个数，n为未知数个数。
  • r( A )=r( \(\overline{A}\) )=n，有唯一解。
  • r( A )=r( \(\overline{A}\) )<n，无穷解。
  • r( A ) \(\neq\) r( \(\overline{A}\) )，无解。

• 判断秩相等：

  • 写出r( \(\overline{A}\) )。

  • 只做行变换，化为阶梯形。

  • 看r( A )是否等于r( \(\overline{A}\) )，阶梯形中虚线左边非零行行数是否等于虚线右边非零行行数。然后参照上述的有解判定。

  • 若是无穷多解，则化为行简化阶梯形，不管零行，非零行的首非零元（1）留在左边，其他变量放在右边，得到一般解。

  • 举例：\(\left[\begin{array}{rcll|r}1 & 0 &3 &4 &5\\0&1&1&1&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right]\) \(\left\{\begin{array}{l}X~1~=5-3X~3~-4X~4~\\X~2~=2-X~3~-X~4~\end{array}\right.\) 同解方程组，在这里，X₃、X₄称为自由未知量。

  • 对于增广矩阵，判断是否有解，看虚线处是否拐弯，不拐弯这有解，拐弯则无解。

  • 对于增广矩阵只需要给开头和结尾画上虚线即可，中间的过程可以不用画。

齐次方程组的解

• 齐次方程：右边全是零，一定有解，至少有零解。
• 加0行或者0列不影响秩（非零子式的最高阶数不受到影响）。
• 推论：
  • r(A)=r(\(\overline{A}\))=n \(\Longleftrightarrow\) 有唯一零解。
  • r(A)<n \(\Longleftrightarrow\) 有非零解或者无穷解，只要找到一个非零解，就可以找到无穷个非零解。
  • 方程个数<未知量个数，有非零解。r(A)\(\leq\) min{m,n} = m<n。
  • 方程个数=未知量个数：
    • 有非零解。 \(\Longleftrightarrow\) |A|=0 \(\Longleftrightarrow\) r(A)<n \(\Longleftrightarrow\) A不可逆。
    • 只有零解。 \(\Longleftrightarrow\) |A| \(\neq\) 0 \(\Longleftrightarrow\) A可逆。

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方程组解的结构

• \(\eta\)₁和\(\eta\)₂是Ax=0的解，则\(\eta\)₁+\(\eta\)₂也是解。

• \(\eta\)是Ax=0的解，那么k\(\eta\)也是解，k是任意常数，也可以取0。

• 基础解系：有无穷多个解，找出一部分解，若满足下列的条件则为基础解系。

  • η₁, η₂, ..., η_s线性无关。
  • 任何解可由η₁, η₂, ..., η_s表示。

• 基础解系求法：

  1、列出系数矩阵A。

  2、只做初等行变换化为行简化阶梯型。

  3、得到首非零元的表示。

  4、对自由项取极大无关组并带入所有X即可得到基础解系。

  5、解的个数：n - r(A)。

• 若矩阵A_m*n和B_n*s满足AB=0，则r(A)+r(B)\(\leq\)n

  • AB=0 \(\Rightarrow\) A左乘B的每一列都为0 \(\Rightarrow\) B的每一列都是A的一组解 \(\Rightarrow\) r(B) = B的列秩 \(\leq\) A的自由变量数 = n - r(A)。
  
  

• 非齐次方程组Ax=b的导出组为Ax=0。

  • 若\(\alpha\)₁,\(\alpha\)₂是Ax=b的解，则\(\alpha\)₁ — \(\alpha\)₂是Ax=0的解。

  • 若\(\alpha\)是Ax=b的解，\(\eta\)是Ax=0的解，则A(\(\alpha\)+\(\eta\))=b \(\Rightarrow\) \(\alpha\)+ \(\eta\) 是Ax=b的解。

• 特解：满足非齐次方程组的任意一个解，不特殊。

• 通解：能用基础解系表示的解。

• 非齐次方程组的通解=特解+导出组的通解。

• 求非齐次方程Ax=b的解：

  • Ax=别的特解。
  • Ax=0的基础解系。

• 如何求特解: \(\overline{A}\) 化为行简化阶梯形，然后令所有自由变量为0，为了方便，可以使自由变量为零，得出一个朴实无华的特解。