Morse理论：拓扑不变性特征匹配原理

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Mo^’ersi lilun
莫尔斯理论(卷名：数学)
Morse theory

　　微分拓扑的一个重要分支。通常是指两部分内容：一部分是微分流形上可微函数的莫尔斯理论，即临界点理论；另一部分是变分问题的莫尔斯理论，即大范围变分法。确切地说，假设ƒ是n维微分流形M上的实值可微函数，ƒ的临界点p是指梯度向量场gradƒ的零点，即在局部坐标下使得的点。ƒ的全部临界点的性态与流形M本身的拓扑结构有密切的关系，探索这些关系就是临界点理论的主要任务。例如，著名的莫尔斯不等式就是这样一种关系：

M₀≥R₀

M₁-M₀≥R₁-R₀，
                ……

M_k-M_k-1+…±M₀≥R_k-R_k-1+…±R₀，
                ……

M_n-M_n-1+…±M₀=R_n-R_n-1+…±R₀，

式中R_k是n维闭流形M的k维模2贝蒂数，即同调群h_k(M，Z₂)的秩，M_k是M上非退化函数ƒ的指数为k的临界点的个数。这里说ƒ是非退化函数，是指ƒ的任何临界点p均非退化，即在局部坐标下ƒ在p处的黑塞矩阵   之秩为n；这个矩阵的负特征值的个数称为临界点p的指数。莫尔斯不等式是H.M.莫尔斯本人在20世纪20年代建立的基本结果，后来有了远为一般的结果。

 

例如，考虑图1中环面M 关于水平切面V的高度函数ƒ:M→R，其中p，q，r，s是ƒ的四个非退化临界点，其指数分别为0，1，1，2，因为可以适当选择局部坐标，使得在p的邻近ƒ=ƒ(p)+x²+y²(旋转抛物面)，在q的邻近ƒ=ƒ(q)-x²+y²(鞍面)，在r的邻近ƒ=ƒ(r)-x²+y²（鞍面），在s的邻近ƒ=ƒ(s)-x²-y²(旋转抛物面)。命不难看出，当α由小变大经过各个临界值时，M^α的同伦型发生表中所列的变化。
　　可见，当α从小变大经过指数为λ的临界点时，M^α的同伦型变化相当于粘上一个λ维胞腔，从而整个环面M的同伦型相当于由一个 0维胞腔、两个一维胞腔以及一个二维胞腔组成的CW复形，这样就把M的同伦型与ƒ 的临界点的性态联系起来了。如果把这个事实推广到一般情形就是：
临界点理论的基本定理 　命M是微分流形，ƒ:M→B是非退化函数，并且任何M^α都是紧致集。于是，每个M^α都具有一个有限CW复形的同伦型，从而整个M具有一个至多是可数的CW复形的同伦型：对于指数为λ的每个临界点，这个复形有一个λ维胞腔。
　　临界点理论的应用中最完美的是对测地线问题的应用，这就是变分学的莫尔斯理论。例如，考虑完备黎曼流形M上两个固定端点p和q之间的测地线问题，即是使弧长为极小的变分问题：

式中ω:[0，1]→M 表示M上的逐段光滑道路，ω(0)=p，ω(1)=q；这个变分问题的泛极线就是所谓测地线。于是，从p 到q 的所有光滑测地线的性态与流形M的拓扑结构之间是否有什么关系，这就是大范围变分学要研究的主要问题，可以应用临界点理论的框架得到相似的结果。命Ω=Ω (M；p，q)表示M上从p到q所有逐段光滑道路组成的空间，具有尺度拓扑。

式中ρ 表示M上由黎曼尺度导出的距离函数；表示ω 上的弧长。
大范围变分学基本定理 　命M是完备黎曼流形，p，q∈M沿任何测地线不共轭，则Ω(M；p，q)具有可数CW复形的同伦型：对于从p到q每条指数为λ的测地线，这个复形有一个λ维胞腔。
　　随着拓扑学的发展，莫尔斯理论本身也有很大的飞跃。例如，由于临界点定义为梯度向量场gradƒ 的零点，自然可以考虑n维闭流形M上一般向量场X 的零点与M的拓扑结构之间的关系，即M上的动力系统

的奇点与M的拓扑结构的关系。S.斯梅尔在某些假设下得到了形式相同的莫尔斯不等式，不过这时M_k=α_k+b_k+b_k+1，α_k表示向量场X 的k型零点的个数，b_k表示k型闭轨线的条数。斯梅尔正是在这个基础上完成了他关于高维庞加莱猜想的卓越工作，这是微分拓扑学的重大成就之一。其次，由于测地线问题是一维变分问题，本来是无限维的空间Ω才能化为有限维流形应用临界点理论来处理。但一般的多维变分问题就无法做到这一点，因而要求发展无限维流形上的临界点理论，直接处理相应的无限维空间Ω，从而把原来的两个方面统一起来。
参考书目
J.Milnor 著，江嘉禾译：Morse理论，《数学译林》，北京，1980～1981。(J. Milnor，Morse Theory，Ann. Math. Studies，Princeton Univ. Press，Princeton，1963.)
H.赛弗尔、W.施雷法著，江嘉禾译:《大范围变分学》，上海科学技术出版社，上海，1963。(H.Seifert und W.Threlfall，variationsrechnung im Grossen，Chelsea Pub.Co.，1948.)
S.Smale， Morse Inequalities for a  Dynamical Systems，Bull. Amer. Math.Soc.，Vol. 66， pp.43～49，1960.
R.S.Palais， Morse Theory on Hibert Manifolds，Topology，Vol.2，pp. 299～340，1963.
R.S.Palais and S.Smale，A Generalized MorseTheory，Bull. Amer. Math. Soc.，Vol.70，pp.165～172，1964. 

江嘉禾