「CF506E」Mr. Kitayuta's Gift 题解
题目简介
给一个小写字符串 \(s\) ，往 \(s\) 里面插 \(n\) 个数字得到 \(t\) 。要求 \(t\) 为回文串，求方案数。
分析
\(\color{black}{\mbox{O}}\)\(\color{red}{\mbox{rzqm}}\)说，这道题就是一个区间DP转有限状态自动机再优化建图后进行矩阵加速。
没有问题……
\(\color{red}\P\) step 1. 区间DP
定义 \(N=|s|+n\) ，即 \(t\) 的长度。
鉴于回文串的特殊形式，考虑从外往里添加字符。每添加一个字符，对 \(s\) 能匹配则进行匹配。
定义一下 \(DP\) 状态：\(f[i][l][r]\) 表示当前 \(t\) 已经确定了前 \(i\) 个和后 \(i\) 个字符，\(s[l],s[l+1],\dots,s[r]\) 还未被匹配的方式。
为了简便，现在只考虑 \(|s|\in\{x|x=2k,k\in\Z\}\) 的情况。
分类讨论：
s[l]==s[r]&&l+1==r：只能填一种字符来匹配 \(s[l]\) 和 \(s[r]\)，所以\(f[i][l][r]=f[i-1][l][r]\times 25\)s[l]==s[r]&&l+1!=r：匹配 \(f[i][l-1][r-1]=f[i-1][l][r]\)，不匹配 \(f[i][l][r]=f[i-1][l][r]\times 25\)s[l]!=s[r]：匹配其中一个 \(f[i][l+1][r]=f[i][l][r-1]=f[i-1][l][r]\)，一个都不匹配 \(f[i][l][r]=f[i-1][l][r]\times 24\)
\(\color{red}\P\) step 2. 转有限状态自动机
名字听起来高大上，其实也不复杂。我们将 \(F[i]=F[i-1]\times 24\) 的状态称为红点，将 \(F[i]=F[i-1]\times 25\) 的状态称为绿点。例如，当 \(s=\)abaac时，根据 \(s\) 的匹配状态，就可以画出这样一幅图：
\(\color{red}\P\) step 3. 优化建图
考虑刚才的 \(DP\) 式，本来已经可以使用矩阵优化，但是 \(n\) 的范围很大（\(\le 10^9\)），且节点数很多（\(|s|^2\)），所以肯定会超时。
现在想一想怎么优化。
将自动机上面的图剖分成一条一条的链，对于两条红点数量相同的链，它们对答案的贡献与红点的具体位置无关，因此本质上是一样的，这意味着本质不同的链只有 \(s\) 条（红点数量只能取 \(0\)~\(s-1\) ）。
我们将每条链转为这种形式：
将红点全部连起来，再连向绿点，把每个红点都看作一个起点，我们可以得到这样一张图：
此时的点数基本可以稳定为 \(|s|\) 。
\(\color{red}\P\) step 4. 矩阵加速
没什么可讲的了……
再卡卡常？……
\(\color{red}\P\) other. 长度为奇
其实也没什么太多的，只需要将那些与终点相连的绿色点为偶数的链情况减去就可以。因为如果它匹配到最后剩两个相同字符，那么肯定 \(|t|\) 不为奇（感性理解）
\(AC\ Code\)
//蒟蒻的代码太冗乱了，不好意思放出来
参考的 \(\texttt{blog}\)：
Codeforces Round #286 Editorial (Complete) - Codeforces
题解 CF506E 【Mr. Kitayuta's Gift】 - shadowice1984 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)
【CF506E】Mr. Kitayuta's Gift dp转有限状态自动机+矩阵乘法 - CQzhangyu - 博客园 (cnblogs.com)
题解 CF506E 【Mr. Kitayuta's Gift】 - xht37 的洛谷博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)
还有 \(\color{black}{\mbox{O}}\)\(\color{red}{\mbox{rzqm}}\) 的帮助（QwQ）
