「JOI 2015 Final」城墙 题解 (树状数组)
题目简介
分析
对于每个点 \((i,j)\) 我们获得它向左上方延伸的最大距离 \(l(i,j)\) ，以及向右下方延伸的最大距离 \(r(i,j)\) 。然后我们在对角线上遍历，对于对角线上的点 \((a,b)\) 和点 \((c,d)\) \((a<c,b<d)\)，如果满足 \(l(c,d)\ge c-a\) 并且 \(r(a,b)\ge c-a\) 。那么他们就可以围成一个正方形。
于是题目可以转换为：对于每个左上端点 \((i,j)\)，在\((i+len−1,j+len−1)(len\in[L,r(i,j)])\)中，求有多少个点\((i+K,j+K)\),使得 \(l(i+len-1,j+len-1)\ge len\)。
改写式子：
\[l(c,d)\ge c-a
\]
\[a\ge c-l(c,d)
\]
使用树状数组，先对对角线上的点进行编号，然后依次将对角线上有用的值加入权值树状数组中，同时查找相应的值，最后在消去无用的贡献，同时在 \((i+r[i][j]-1,j+r[i][j]-1)\) 处添加删除标记，以便后续删除多算进去的值。
详情见代码
\(AC\ Code\)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
using ll=long long;
const int Maxn=4e3+5;
int mat[Maxn][Maxn];
int a[Maxn][Maxn];
int b[Maxn][Maxn];
int l[Maxn][Maxn];
int r[Maxn][Maxn];
int c[Maxn<<1];
int d[Maxn][Maxn];
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
inline void add(int x,int val){
for(;x<=8e3;x+=lowbit(x))c[x]+=val;
}
inline int ask(int x){
int res=0;
for(;x;x-=lowbit(x))res+=c[x];
return res;
}
vector<int>p[Maxn<<1];
int calc(int a,int b,int n,int m,int L){
memset(c,0,sizeof c);
ll res=0;if(min(n-a+1,m-b+1)<L)return 0;
int cnt=0;
for(int i=a+L-1,j=b+L-1;i<=n&&j<=m;++i,++j)add(i-l[i][j]+1,1),++cnt;
for(int i=a,j=b;i<=n&&j<=m;++i,++j)d[i][j]=d[i-1][j-1]+1;
for(int i=a,j=b;i<=n&&j<=m;++i,++j){
if(r[i][j]>=L){
res+=ask(i);
p[d[i+r[i][j]-L][j+r[i][j]-L]].emplace_back(i);
}
add(i+L-l[i+L-1][j+L-1],-1),--cnt;
for(int x:p[d[i][j]])res-=ask(x);p[d[i][j]].clear();
}
return res;
}
void solve(int n,int m,int L){
ll ans=calc(1,1,n,m,L);
for(int i=2;i<=n;++i)ans+=calc(i,1,n,m,L);
for(int i=2;i<=m;++i)ans+=calc(1,i,n,m,L);
cout<<ans<<'\n';
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
int n,m,L,p;cin>>n>>m>>L>>p;
for(int i=1;i<=p;++i){
int x,y;cin>>x>>y;
mat[x][y]=1;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j){
if(mat[i][j])a[i][j]=b[i][j]=0;
else a[i][j]=a[i][j-1]+1,b[i][j]=b[i-1][j]+1;
l[i][j]=min(a[i][j],b[i][j]);
}
for(int i=n;i;--i)
for(int j=m;j;--j){
if(mat[i][j])a[i][j]=b[i][j]=0;
else a[i][j]=a[i][j+1]+1,b[i][j]=b[i+1][j]+1;
r[i][j]=min(a[i][j],b[i][j]);
}
solve(n,m,L);
return 0;
}
