「CF696B」Puzzle 题解 (期望与树形综合DP)

题目简介

给一颗树，按 $dfs$ 序遍历并编号，对每个点求其编号的期望值。

分析

鄙人的想法与题解区稍微有点区别（尽管结论一样，过程却繁杂得多），希望不被大佬们嫌弃。

令$f_x$表示结点 $x$ 的期望值，$siz_x$表示以 $x$ 为根的子树大小，考虑当前结点为 $x$ 怎么向其子节点 $y$ 转移。

令 $x$ 有 $k$ 个儿子：

• 假设在 $x$ 选择的第一个结点就是 $y$ ，那么 $f_y$ 将等于 $f_x+1$，而概率是 $\frac{1}{k}$；

• 假设在 $x$ 选择的第一个结点不是 $y$ ，第二个结点是 $y$ ，那么 $y$ 有 $(k-1)$ 种不同的编号，分别是 $f_x+siz_{y'}+1(y'\ne y)$，因此总贡献为 $(k-1)\times f_x+\sum siz_{y'}(y'\ne y)+(k-1)$ ，每种的概率都是 $(1-\frac{1}{k})\times\frac{1}{k-1}\times\frac{1}{k-1}=\frac{1}{k-1}\times \frac{1}{k}$；

• 依此类推，假设 $y$ 在第三个被选择，那么总贡献将为 $(k-2)\times f_x+2\times \sum siz_{y'}+(k-2)$，相应的概率均为 $\frac{1}{k-2}\times \frac{1}{k}$；

• $\dots$

综上，可以得到一个状态转移方程：

$$f_{y}=(f_x+1)\times \frac{1}{k}+\overset{k-1}{\underset{i=1}{\sum}}(f_x+\frac{\sum siz_{y'}(y'\ne y)}{n-i}+1)\times \frac{1}{k}$$

这么去推肯定大大的$\mbox{TLE}$，考虑化简。

$$\sum siz_{y'}(y'\ne y)=siz_x-siz_y-1$$

$$f_{y}=(f_x+1)\times \frac{1}{k}+\overset{k-1}{\underset{i=1}{\sum}}(f_x+\frac{siz_x-siz_y-1}{n-i}+1)\times \frac{1}{k}$$

$$f_{y}=(f_x+1)\times \frac{1}{k}+\overset{k-1}{\underset{i=1}{\sum}}(f_x+\frac{siz_x-siz_y-1}{i}+1)\times \frac{1}{k}$$

$$f_{y}=f_x+1+\overset{k-1}{\underset{i=1}{\sum}}\frac{siz_x-siz_y-1}{i}\times \frac{1}{k}$$

令 $t=siz_x-siz_y-1$

$$\overset{k-1}{\underset{i=1}{\sum}}\frac{t}{i}\times \frac{1}{k}=t\times\overset{k-1}{\underset{i=1}{\sum}}\frac{1}{i\times k}=t\times\frac{\frac{k(k-1)}{2}}{k(k-1)}=\frac{t}{2}$$

由此得到转移：

$$f_y=f_x+\frac{siz_x-siz_y-1}{2}+1$$

$AC\ Code$

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int Maxn=1e5+5;
vector<int>tr[Maxn];
long double f[Maxn];
int siz[Maxn];
void dfs1(int x){
    siz[x]=1;
    for(auto y:tr[x]){
        dfs1(y);
        siz[x]+=siz[y];
    }
}
void dfs2(int x){
    for(auto y:tr[x]){
        f[y]=f[x]+1.0*(siz[x]-siz[y]-1)/2+1;
        dfs2(y);
    }
}
int main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        int x;cin>>x;
        tr[x].push_back(i);
    }
    f[1]=1;
    dfs1(1);dfs2(1);
    for(int i=1;i<=n;++i)printf("%.7Lf ",f[i]);
    return 0;
}

$$-----EOF-----$$