「AGC040E」Prefix Suffix Addition 题解 (DP)

题目简介

你有一个长为 $N$ 的序列 $x_1,x_2,\dots,x_N$,一开始全部为 0，你现在可以以任意顺序进行任意次以下两种操作：

1. 选定整数 $k(1\le k\le N)$ 与不下降非负序列 $c_1,c_2,\dots,c_k$，对所有 $1\le i \le k$，令 $x_i$ 加上 $c_i$。
2. 选定整数 $k(1\le k\le N)$ 与不上升非负序列 $c_1,c_2,\dots,c_k$，对所有 $1\le i \le k$，令 $x_{N-k+i}$ 加上 $c_i$。

问最少进行多少次操作使得最后对任意 $i$ 有 $x_i=A_i$。

转化

0x1.

由于 $x$ 的初始值全为 $0$ ，所以可以考虑将其翻一转，变成

1. 选定整数 $k(1\le k\le N)$ 与不上升非负序列 $c_1,c_2,\dots,c_k$，对所有 $1\le i \le k$，令 $x_i$ 加上 $c_i$。
2. 选定整数 $k(1\le k\le N)$ 与不下降非负序列 $c_1,c_2,\dots,c_k$，对所有 $1\le i \le k$，令 $x_{N-k+i}$ 加上 $c_i$。

这样，对于操作1，可视为 $c_{k+1}\dots c_N = 0$

对于操作2，可将$c_{N-k+1}\dots c_N$赋值为$c_1\dots c_k$，然后令$c_1\dots c_k =0$

操作1的所有序列叠加，所得的还是不上升非负序列，记为 $B$

操作2的所有序列叠加，所得的还是不下降非负序列，记为 $C$

可得 $A_i=B_i+C_i$，转换得 $C_i=A_i-B_i$，$A$已知，DP求 $B$ 即可。

0x2.

令 $f_{i,j}$ 表示 DP 到第 $i$ 个位置，其中 $B_i=j$ 的最小值。

由：

$$f_{i,B_i}=\min f_{i-1,B_{i-1}}+[B_i<B_{i-1}]+[C_{i}>C_{i-1}]$$

不难得出状态转移方程：

$$f_{i,j}=\min f_{i-1,k}+[j<k]+[A_i-j>A_{i-1}-k]$$

变形：

$$f_{i,j}=\min f_{i-1,k}+[j<k]+[j<k-A_{i-1}+A_i]$$

0x3.

由上式可知，$j$ 越大，越难满足 $j<k$ 和 $j<k-A_{i-1}+A_i$。

也就是说，$k$ 越小，越容易满足 $j<k$ 和 $j<k-A_{i-1}+A_i$。

另外，对于已知状态$f_{i-1,k}$，$f_{i,j}$ 只可能有三种值：

• $f_{i-1,k}$
• $f_{i-1,k}+1$
• $f_{i-1,k}+2$

换句话说，如果对于 $f_{i,j}$ ，有 $f_{i,j'}<f_{i,j}-2$，那么 $f_{i,j}$ 是无意义的。

0x4

偷换概念：

使用 $f_{i,j}$ 表示，当DP到前 $i$ 位，最小值为 $j$ 时对应的 $B_i$ 最小值。

即 将原本的$f_{i,j}$概念调换一下。

使用map进行DP。

$AC\ Code$

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<map>
#include<vector>
#include<functional>
int main(){
	int n;std::cin>>n;
	std::vector<int>a(n+1);
	std::map<int,int>f[2];
	int cur=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)std::cin>>a[i];
	std::function<void(int,int,int)>update=
	[&](int k,int x,int y){
		if(!f[k].count(x))f[k][x]=y;
		f[k][x]=std::min(f[k][x],y);
	};
	f[cur][0]=a[1],f[cur][1]=0;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		cur^=1;f[cur].clear();
		int v1=std::max(a[i]-a[i-1],0);
		int v2=std::min(a[i]-a[i-1],0);
		for(auto it=f[cur^1].begin();it!=f[cur^1].end();++it){
			if(it->first-f[cur^1].begin()->first>2)continue;
			int x=it->first;
			int y=it->second;
			if(v1+y<=a[i])update(cur,x,std::max(v1+y,0));
			if(v2+y<=a[i])update(cur,x+1,std::max(v2+y,0));
			if(v2+y>0)update(cur,x+2,0);
		}
	}
	int ans=n;
	for(auto it=f[cur].begin();it!=f[cur].end();++it)
		ans=std::min(ans,it->first+(it->second>0));
	std::cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

$$-----EOF-----$$