「ABC242D」ABC Transform 题解

我果然还是太cai了

题目简介

传送门

给定一个长度为 $N$ 的字符串 $S$ ，由A B C 三种字符组成，每一次变化会使 $S$ 中的 A 全部变成 BC ，B 全部变成 CA ，C 全部变成 AB ，如 ABC 在一次变化后会变成 BCCAAB 。现在有 Q 个询问，每个询问都是求原串 $S$ 经过 $t_i$ 次变化后第 $k_i$ 个字符。

分析

越来越菜了，首次接触 $D$ 题连一点思路都没有。

令 $f(t,k)$ 为原串 $S$ 经过 $t_i$ 次变化后第 $k_i$ 个字符。

首先，当 $t=0$ 时 ，输出 $S_k$ 就行了。

其次，当 $t\neq 0$ 时，我们得清楚 $f (t,k)$ 是从哪儿来的。

试看样例

ABC ->
BCCAAB ->
CAABABBCBCCA

采用分类讨论的方法，不难发现

• 当 $k\in \{2m+1|m\in \mbox{Z}\}$ ( 即 $k$ 为奇数 ) 时，$f(t,k)$ 来自 $f(t-1,\frac{k+1}{2})$
• 当 $k\in \{2m|m\in \mbox{Z}\}$ ( 即 $k$ 为偶数 ) 时，$f(t,k)$ 来自 $f(t-1,\frac{k}{2})$

怎么进行变化？

可以概阔为一个 $g$ 函数：

inline char g(char ch,int x){
	return (ch-'A'+x)%3+'A';
}

但是，如果我们每一次都去递归 $t$ 次，看一眼 $t\leq 10^{18}$，肯定会爆的。

对 $k$ 下手。

观察上面样例中的字符串首，会发现它们是 A B C轮换。

可以利用这条性质，当 $k=0$ 时，直接求取 $f(t,0)=g(S.front(),t\ \mbox{mod}\ 3)$

但是问题来了，这样一个算法肯定会对 $k$ 取模，那么万一 $k=0\dots$

所以，我们将 $S$ 改为从 $0$ 到 $N-1$ 编号。

此时：

• 当 $k\in \{2m+1|m\in \mbox{Z}\}$ 时，$f(t,k)$ 来自 $f(t-1,\frac{k-1}{2})$
• 当 $k\in \{2m|m\in \mbox{Z}\}$ 时，$f(t,k)$ 来自 $f(t-1,\frac{k}{2})$

代码就非常好写了：

$AC\ Code$

#include<cstdio>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
inline char g(char ch,int x){
	return (ch-'A'+x)%3+'A';
}
typedef long long ll;
string s;
char f(ll t,ll k){
	if(!t)return s[k];
	if(!k)return g(s[0],t%3);
	return g(f(t-1,k>>1),(k&1)+1);
}
int main(){
	int q;
	cin>>s>>q;
	while(q--){
		ll t,k;
		cin>>t>>k;
		cout<<f(t,k-1)<<'\n';
	}
	return 0;
} 

再说一遍，我是 **XX **

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