「POJ1830」开关问题 题解 (高斯异或消元)
题目描述
分析
假设我们对第 \(i\) 个开关的操作是 \(x_i\)，那么
\[x_i = \left\{ \begin{array}{rcl}
1 & \mbox{for} & \mbox{open} \\
0 & \mbox{for} & \mbox{close} \\
\end{array}\right.\]
再使用 \(a_{i,j}\) 表示 \(i\) 受 \(j\) 的影响，有
\[a_{i,j} = \left\{ \begin{array}{rcl}
1 & \mbox{for} & \mbox{Yes} \\
0 & \mbox{for} & \mbox{No} \\
\end{array}\right.\]
特别地，令 \(a_{i,i}=1\)。
由于 \(0\ \mbox{xor} \ 1=1,0\ \mbox{xor} \ 0=0,1\ \mbox{xor} \ 1=0\)，我们可以列出方程组：
\[\left\{ \begin{array}{rcl}
start_1\ \mbox{xor}\ (a_{1,1}x_1\ \mbox{xor}\ a_{1,2}x_1\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{1,n}x_n)\ = end_1\\
start_2\ \mbox{xor}\ (a_{2,1}x_2\ \mbox{xor}\ a_{2,2}x_2\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{2,n}x_n)\ = end_2\\
…\\
start_n\ \mbox{xor}\ (a_{n,1}x_n\ \mbox{xor}\ a_{n,2}x_n\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{n,n}x_n)\ = end_n\\
\end{array}\right.\]
由 \(\mbox{xor}\) 独特的移项方式可得：
\[\left\{ \begin{array}{rcl}
a_{1,1}x_1\ \mbox{xor}\ a_{1,2}x_1\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{1,n}x_n\ = start_1\ \mbox{xor}\ end_1\\
a_{2,1}x_2\ \mbox{xor}\ a_{2,2}x_2\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{2,n}x_n\ = start_2\ \mbox{xor}\ end_2\\
…\\
a_{n,1}x_n\ \mbox{xor}\ a_{n,2}x_n\ \mbox{xor}…\mbox{xor}\ a_{n,n}x_n\ = start_n\ \mbox{xor}\ end_n\\
\end{array}\right.\]
可以使用高斯消元的思想。
代码
大致可以划分三步。
- 建立矩阵
void build(){
for(int i=1;i<=n;i++)st[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i][i]=1;
int ed=read();
a[i][n+1]=st[i]^ed;
}
do{
int u=read(),v=read();
if(!u&&!v)return ;
a[v][u]=1;
}while(true);
}
这里需要注意的是，是 \(v\) 被 \(u\) 影响，所以必须是 \(a_{v,u}=1\) 而不是 \(a_{u,v}=1\)
2. 消元
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j)continue;
if(!a[j][i])continue;
for(int t=i;t<=n+1;t++)
a[j][t]^=a[i][t];
}
以达到左右两边互相异或的效果。
3. 统计答案
注意：等式两边都为 \(0\) 是自由元，等式左边为 \(0\) ,而右边非 \(0\) 为矛盾
int tot=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!a[i][i]&&a[i][n+1]){
tot=-1;
break;
}
if(!a[i][i]&&!a[i][n+1])tot++;
}
AC code：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int n;
int st[32];
int a[32][32];
void build(){
for(int i=1;i<=n;i++)st[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i][i]=1;
int ed=read();
a[i][n+1]=st[i]^ed;
}
do{
int u=read(),v=read();
if(!u&&!v)return ;
a[v][u]=1;
}while(true);
}
int find(int x){
for(int i=x;i<=n;i++)
if(a[i][x])return i;
return 0;
}
void check(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++)
printf("%d ",a[i][j]);
printf("| %d\n",a[i][n+1]);
}
puts("");
}
int main(){
// freopen("data.in","r",stdin);
// freopen("data.out","w",stdout);
int T=read();
while(T--){
n=read();
memset(a,0,sizeof a);
build();
// cout<<"[0]\n";
// check();
for(int i=1;i<=n;i++){
int t=find(i);
if(!t)continue;
// cout<<"["<<i<<"] t = "<<t<<"\n";
swap(a[i],a[t]);
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j)continue;
if(!a[j][i])continue;
for(int t=i;t<=n+1;t++)
a[j][t]^=a[i][t];
}
// check();
}
int tot=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!a[i][i]&&a[i][n+1]){
tot=-1;
break;
}
if(!a[i][i]&&!a[i][n+1])tot++;
}
if(tot==-1)puts("Oh,it's impossible~!!");
else printf("%d\n",1<<tot);
}
return 0;
}
