Singular Value Decomposition(SVD)--奇异值分解【转】

奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

理论描述

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元全部属于域 K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

$M = U \Sigma V^*, \,$

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σ_i,i即为M的奇异值。

常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定。)

直观的解释

在矩阵M的奇异值分解中

$M = U\Sigma V^*, \,$

V的列(columns)组成一套对 $M\,$ 的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是 $M^*\,M$ 的特征向量。
U的列(columns)组成一套对 $M\,$ 的正交"输出"的基向量。这些向量是 $MM^*\,$ 的特征向量。
Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是 $MM^*\,$ 及 $M^*\,M$ 的特征值，并与U和V的行向量相对应。

奇异值和奇异向量, 以及他们与奇异值分解的关系

与特征值分解的联系

几何意义

因为U 和V 向量都是单位化的向量, 我们知道U的列向量u₁,...,u_m组成了K^m空间的一组标准正交基。同样，V的列向量v₁,...,v_n也组成了Kⁿ空间的一组标准正交基(根据向量空间的标准点积法则).

线性变换T: Kⁿ → K^m，把向量x变换为Mx。考虑到这些标准正交基，这个变换描述起来就很简单了: T(v_i) = σ_i u_i, for i = 1,...,min(m,n), 其中σ_i 是对角阵Σ中的第i个元素; 当i > min(m,n)时，T(v_i) = 0。

这样，SVD理论的几何意义就可以做如下的归纳：对于每一个线性映射T: Kⁿ → K^m，T把Kⁿ的第i个基向量映射为K^m的第i个基向量的非负倍数,然后将余下的基向量映射为零向量。对照这些基向量，映射T就可以表示为一个非负对角阵。

简化的 SVD

范数

1. 矩阵范数的概念设A∈Cm×n，定义一个实值函数||A||，若满足：

(1) 非负性：||A||≥0，且||A||=0当且仅当A=0； (2) 齐次性：||aA||=|a| ||A||，a∈C； (3) 三角不等式：||A+B||≤||A||+||B||，A,B∈ Cm×n; (4) 相容性：||AB||≤||A|| ||B||

则称||A||为A的矩阵范数。例1 设A=(aij)∈Cn×n，则

都是矩阵范数。

定理2：由向量的1-范数、2-范数和∞-范数分别诱导出的矩阵范数分别是

通常依次称为列和范数、谱范数和行和范数。

定理3：谱范数和F-范数都是酉不变范数，即对于任意酉矩阵P和Q，有||PAQ||=||A||。

应用

求伪逆

奇异值分解可以被用来计算矩阵的伪逆。若矩阵 M 的奇异值分解为 $M = U Σ V *$ ，那么 M 的伪逆为

$M^+ = V \Sigma^+ U^*, \,$

其中 Σ⁺ 是将Σ转置，并将其主对角线上每个非零元素都求倒数得到的。求伪逆通常可以用来求解线性最小平方问题。

平行奇异值模型

把频率选择性衰落信道进行分解.

值域、零空间和秩

矩阵近似值

奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析（PCA），它是一种数据分析方法，用来找出大量数据中所隐含的“模式”,它可以用在模式识别，数据压缩等方面。PCA算法的作用是把数据集映射到低维空间中去。数据集的特征值（在SVD中用奇异值表征）按照重要性排列，降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程，而剩下的特征向量张成空间为降维后的空间。

计算 SVD

matlab： [b c d]=svd(A) OpenCV: void cvSVD( CvArr* A, CvArr* W, CvArr* U=NULL, CvArr* V=NULL, int flags=0 )

历史

参见

外部链接

LAPACK users manual gives details of subroutines to calculate the SVD (see also [1]).
Applications of SVDon PC Hansen's web site.
Introduction to the Singular Value Decompositionby Todd Will of the University of Wisconsin--La Crosse.
Los Alamos group's book chapterhas helpful gene data analysis examples.
MIT Lectureseries by Gilbert Strang. See Lecture #29 on the SVD.
Java SVDlibrary routine.
Java appletdemonstrating the SVD.
Java scriptdemonstrating the SVD more extensively, paste your data from a spreadsheet.
Chapter from "Numerical Recipes in C"gives more information about implementation and applications of SVD.
Online Matrix Calculator Performs singular value decomposition of matrices.

参考文献

Demmel, J. and Kahan, W. (1990). Computing Small Singular Values of Bidiagonal Matrices With Guaranteed High Relative Accuracy. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 11(5), 873-912.
Golub, G. H. and Van Loan, C. F. (1996). "Matrix Computations". 3rd ed., Johns Hopkins University Press, Baltimore. ISBN 0-8018-5414-8.
Halldor, Bjornsson and Venegas, Silvia A. (1997). "A manual for EOF and SVD analyses of climate data". McGill University, CCGCR Report No. 97-1, Montréal, Québec, 52pp.
Hansen, P. C. (1987). The truncated SVD as a method for regularization. BIT, 27, 534-553.
Horn, Roger A. and Johnson, Charles R (1985). "Matrix Analysis". Section 7.3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.
Horn, Roger A. and Johnson, Charles R (1991). Topics in Matrix Analysis, Chapter 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46713-6.
Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra". Section 6.7. 3rd ed., Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.

1个分类:矩阵分解

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posted on 2011-10-26 16:49 COS 阅读(2315) 评论(0) 编辑收藏举报