图论学习笔记

LGV 引理

应用于 DAG。

设 \(\omega(P)\) 表示 \(P\) 路径各边的边权乘积。\(e(u,v)\) 表示从 \(u\) 到 \(v\) 所有路径的 \(\omega\) 之和。起点点集 \(A\) 和终点点集 \(B\) 的大小都是 \(n\)。一组 \(A\to B\) 的不相交路径说的是，对于一组 \(S_i\) 为 \(A_i\) 到 \(B_{P_i}\) 的路径，\(S_i\) 和 \(S_j\) 没有公共点。\(N(p)\) 表示排列 \(p\) 的逆序对个数。

令

\[M=\begin{bmatrix} e(A_1,B_1)&e(A_2,B_2)&\cdots&e(A_1,B_n)\\ e(A_2,B_1)&e(A_2,B_2)&\cdots&e(A_2,B_n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ e(A_n,B_1)&e(A_n,B_2)&\cdots&e(A_n,B_n) \end{bmatrix} \]

\[\det(M)=\sum_{S:A\to B}(-1)^{N(p(S))}\prod_{i=1}^n \omega(S_i) \]

Matrix-tree 定理

本篇内所有图，默认允许重边但不允许自环。

记号声明

无向图情况

设 \(G\) 是一个 \(n\) 个顶点的无向图。定义度数矩阵 \(D(G)\) 为：

\[\begin{aligned} D_{i,i}&=\deg(i)\\ D_{i,j}&=0,i\not= j \end{aligned} \]

设 \(\# e(i,j)\) 为 \(i,j\) 之间相连的边数，定义邻接矩阵 \(A\) 为

\[A_{i,j}=A_{j,i}=\# e(i,j),i\not= j \]

定义 Laplace 矩阵 \(L\) 为：

\[L(G)=D(G)-A(G) \]

记图 \(G\) 的生成树个数为 \(t(G)\)。

有向图情况

设 \(G\) 是一个 \(n\) 个顶点的有向图。定义出度矩阵 \(D^{out}(G)\) 和入度矩阵 \(D^{in}(G)\) 跟上面无向图基本一样。对 \(A\) 的定义就是 \(\# e(i,j)\) 变成了 \(i\) 指向 \(j\) 的边数。

出度 Laplace 矩阵 \(L^{out}(G)=D^{out}(G)-A(G)\)，入度同理。

记图 \(G\) 所有以 \(r\) 为根的内向树（指向根）的个数为 \(t^{root}(G,r)\)，外向树个数为 \(t^{leaf}(G,r)\)。

定理 1（无向图行列式形式）

对于任意的 \(i\) 都有

\[t(G)=\det L(G)\left(\begin{aligned} 1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\\ 1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n \end{aligned}\right) \]

其中，$ L(G)\left(\begin{aligned}
1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\
1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n
\end{aligned}\right)$ 表示矩阵 \(L(G)\) 的第 \(1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\) 行和 \(1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\) 列组成的子矩阵。也就是说，无向图的 Laplance 矩阵的所有 \(n-1\) 阶行列式都相等。

定理 2（无向图特征值形式）

这个不常用。

定理 3（有向图内向/根向形式）

对于任意的 \(k\) 都有

\[t^{root}(G,k)=\det L^{out}(G)\left(\begin{aligned} 1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\\ 1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n \end{aligned}\right) \]

定理 4（有向图外向/叶向形式）

对于任意的 \(k\) 都有

\[t^{leaf}(G,k)=\det L^{in}(G)\left(\begin{aligned} 1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\\ 1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n \end{aligned}\right) \]

定理 5（BEST 定理）

设 \(G=(V,E)\) 是有向欧拉图，那么 \(G\) 的不同欧拉回路总数 \(ec(G)\) 是

\[ec(G)=t^{root}(G,k)\prod_{v\in V}(\deg(v)-1)! \]

注意，对于欧拉图的任意两个点 \(i,j\)，\(t^{root}(G,i)=t^{root}(G,j)\)。