群论学习笔记

Post time: 2021-11-23 17:11:25

一、群的定义

一个群是一个集合 \(G\) 加上对 \(G\) 的二元运算。二元运算用 \(\cdot\) 表示。

群公理包含下述四个性质，若 \(G\not= \varnothing\)，其与在 \(G\) 上的运算 \(\cdot\) 组成的代数结构 \((G,\cdot)\) 满足以下性质：

1. 封闭性：对于任意 \(a,b\in G,a\cdot b\in G\)。

2. 结合律：对于任意 \(a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)。

3. 单位元：\(G\) 中存在且仅存在唯一一个元素 \(e\)，使得对于任意的 \(a\in G\)，都有 \(a\cdot e=a\cdot e=a\)。\(e\) 被称为群 \(G\) 的单位元（标识元）。

4. 逆元：对于任意 \(a\in G\)，都存在且仅存在一个 \(b\in G\)，使得 \(a\cdot b=b\cdot a=e\)，\(e\) 为单位元，记 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，写作 \(a^{-1}\)。

若满足上述性质，称 \((G,\cdot)\) 是一个群。

二、群同态

群同态是保持群结构的函数，可用于关联两个组。

从群 \((G,\cdot)\) 到群 \((H,* )\) 的同态是一个函数 \(\varphi : G\to H\) 使得对于任意 \(a,b\in G\)，都有：

\[\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)* \varphi(b) \]

三、群的基本概念

1.子群

若 \((G,\cdot)\) 是群，\(H\subseteq G\) 且 \(H\not=\varnothing\)，且 \((H,\cdot)\) 是群，那么称 \((H,\cdot)\) 是 \((G,\cdot)\) 的子群。

子群检验法：对于群 \((G,\cdot)\) 的某个子集 \(H\)，\((H,\cdot)\) 是 \((G,\cdot)\) 的子群等价于任意元素 \(g,h\in H\)，均满足 \(g^{-1}\cdot h\in H\)。

2.陪集

一个子群 \(H\) 的左右陪集定义如下：

\[\begin{aligned} gH&=\{g\cdot h|h\in H\}\\ Hg&=\{h\cdot g|h\in H\} \end{aligned} \]

3.商群

给定任何正规子群 \(N\)，\(G\) 的商群定义为

\[G/N=\{gN|g\in G\} \]

4.共轭

对于群中的某两个元素 \(a,b\)，如果群中存在一个元素 \(g\) 使得 \(b=g^{-1}ag\)，称 \(a,b\) 是共轭的，其等价类成为共轭类。

5.阶

群 \(G\) 中元素 \(x\) 的阶，是指存在一个最小的整数 \(d\) 使得 \(x^d=e\)。对于有限群，\(x\) 的阶一定存在。

群 \(G\) 的阶指的是群 \(G\) 内的元素个数。对于无限群，阶规定为 \(0\)。

定理 1

群中任意一个元素的阶整除群的阶。

定理 2

如果 \(G\) 中存在两个元素 \(a,b\)，它们的阶 \(m,n\) 互质，那么 \(a^sb^t=e\) 等价于 \(a^s=e\) 且 \(b^t=e\)。

定理 3

如果群 \(G\) 中存在两个元素 \(x_1,x_2\) 的阶是 \(d_1,d_2\)，那么 \(G\) 中一定存在元素 \(x\)，阶为 \(d=lcm(d_1,d_2)\)。\(x=x1^{\gcd(d_1,d_2)}x_2\) 的阶就是 \(d\)。

四、置换群

置换群常用来解决一些涉及“本质不同”的计数问题，例如用 3 种颜色给一个立方体染色，求本质不同的方案数（经过翻转后相同的两种方案视为同一种）。

1.置换的定义

有限集合到自身的映射称为置换。例如，集合 \(S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}\) 上的置换可以表示为

\[f=\binom{a_1,a_2,\ldots,a_n}{a_{p_1},a_{p_2},\ldots,a_{p_n}} \]

其中，\(p_1,p_2,\ldots,p_n\) 是一个 \(1,2,\ldots,n\) 的排列。显然 \(S\) 上所有的置换数量为 \(n!\)。

2.置换的乘法

对于两个置换 \(f=\binom{a_1,a_2,\ldots,a_n}{a_{p_1},a_{p_2},\ldots,a_{p_n}}\) 和 \(g=\binom{a_{p_1},a_{p_2},\ldots,a_{p_n}}{a_{q_1},a_{q_2},\ldots,a_{q_n}}\)，\(f\) 和 \(g\) 的乘积 \(f\circ g\) 表示为：

\[f\circ g=\binom{a_1,a_2,\ldots,a_n}{a_{q_1},a_{q_2},\ldots,a_{q_n}} \]

3.置换群

易证，集合 \(S\) 上的所有置换关于置换乘法满足封闭性、结合律、有单位元（恒等置换，即每个元素映射成它自己）、有逆元（交换置换表示中的上下两行），因此构成一个群。这个群的任意一个子群即称为置换群。

4.循环置换

一类特殊的置换，可表示为

\[(a_1,a_2,\ldots,a_m)=\binom{a_1,a_2,\ldots,a_{m-1},a_m}{a_2,a_3,\ldots,a_m,a_1} \]

五、Burnside 引理

定义：

设 \(A\) 和 \(B\) 是两个有限集合，\(X\) 是一些从 \(A\) 到 \(B\) 的映射组成的集合。

\(G\) 是 \(X\) 的置换群，且 \(X\) 中的映射在 \(G\) 的作用下封闭。

\(X/G\) 表示 \(G\) 作用在 \(X\) 上产生的等价类的集合，则

\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}|C(f)| \]

证明：

定义两个映射 \(c_1,c_2\in X\) 等价，当且仅当存在 \(f\in G\)，使得 \(f* c_1=c_2\)。

对于映射 \(c\in X\)，定义 \(c\) 的稳定核 \(G(c)=\{f|f\in G,f* c=c\}\)；

对于置换 \(f\in G\)，定义 \(f\) 的不动点 \(C(f)=\{c|c\in X,f* c=c\}\)。

然后这个 \(G(c)\) 也是一个置换群，利用定义不难证明。

引理 1

对于置换 \(f\in G\) 和映射 \(c\in X\)，\(G'(f,c)=\{g\in G|g* c=f* c\}\)，则 \(|G'(f,c)|=|G(c)|\)。

证明：对于 \(f* c=g* c\)，两边同乘 \(f^{-1}\) 可得 \(f^{-1}* g* c=c\)。对于每个 \(h\in G(c)\)，\(g=f* h\) 是唯一的，所以原命题得证。

引理 2

对于映射 \(c\in X\)，与其本质相同的映射的数量为 \(\frac{|G|}{|G(c)|}\)。

证明：由引理 1 可得，整个置换群可以被划分成 \(\frac{|G|}{|G(c)|}\) 个等价类，而等价类的数量表示的就是跟 \(c\) 本质相同的映射数量。

引理 3

\[\sum_{f\in G}|C(f)|=\sum_{c\in X}|G(c)| \]

证明：

定义拆开交换 \(\sum\)，即

\[\begin{aligned} \sum_{f\in G}|C(f)|&=\sum_{f\in G}\sum_{c\in X}[f* c=c]\\ &= \sum_{c\in X}\sum_{f\in G}[f* c=c]\\ &=\sum_{c\in X}|G(c)| \end{aligned} \]

现在我们回到 Burnside 引理：

\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}|C(f)| \]

首先由引理 3 可得 \(\sum_{f\in G}|C(f)|=\sum_{c\in X}|G(c)|\)。

然后由引理 2 可得 \(|G(c)|=\frac{|G|}{\text{与 c 本质相同的映射数}}\)。

所以

\[\sum_{f\in G}|C(f)|=|G|\sum_{c\in X}\frac{1}{\text{与 c 本质相同的映射数}} \]

考虑后面那个式子，每一个等价类的值的和应该是 \(1\)，所以算的就是等价类个数。自此，原定理得证。在使用定理的过程中，一般置换集合不会很大，但是映射可能会很多，所以一般使用 \(C(f)\) 进行计算。

六、Pólya 定理

上面已经定义过循环置换了，这里强调一点：循环置换必须有且仅有一个环，环的长度成为这个置换的大小。那么，每一个置换都可以拆分成若干个循环置换复合的形式。对于一个置换 \(f\)，定义它拆分后的循环置换个数为 \(j(f)\)。

首先，Pólya 定理的应用是有限制的，他限制 \(X\) 必须包含所有 \(A\) 到 \(B\) 集合的映射。Pólya 定理的形式是：

如果共 \(m\) 种颜色给 \(A\) 中的元素染色，那么在置换群 \(G\) 的作用下，映射集合 \(X\) 中的本质不同的数量为 \(|X/G|\)，则

\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}m^{j(f)} \]

引理 4

发现上面那个式子跟 Burnside 几乎一样，只需要证明

\[|C(f)|=m^{j(f)} \]

证明：由于置换 \(f\) 作用到的映射 \(c\) 是不变的，所以对于 \(f\) 中拆分出的每一个循环置换，这个置换的所有位置都必须染同一种颜色，所以总的方案数就是 \(m^{j(f)}\)。

直接将引理 4 代入 Burnside 引理可以得到 Pólya 定理。