P6624 [省选联考2020]作业题 题解
当年见这题的时候还是初三的年轻选手。现在已经是老选手了……
考虑推式子：
\[\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \sum_T (\sum_{i=1}^{n-1}w_{e_i})\times\gcd_{i=1}^{n-1}w_{e_i}\\
&=\sum_T \big(\sum_{i=1}^{n-1}w_{e_i}\big) \times \big(\sum_{d|w_{e_i}}\varphi(d)\big)\\
&=\sum_{d}\varphi(d) \sum_T \big(\prod_{i=1}^{n-1}[d|w_{e_i}] \big)\big(\sum_{i=1}^{n-1}w_{e_i}\big)
\end{aligned}
\]
直接做的复杂度看似是 \(O(Vn^3)\)，冷静思考一下，对于一个 \(d\) 如果 \([d|w_{e_i}]\) 的边 \(e_i\) 的数量不足 \(n-1\)，直接不予考虑。所以说，最坏情况下也只会求 \(\frac{m\sigma_0(V)}{n-1}=O(n\sigma_0(V))\)，总复杂度 \(O(V+n^4\sigma_0(V))\)，可以直接通过。
