P4175 [CTSC2008]网络管理 题解

题面

比较经典的带修树上第 \(k\) 大问题。通常的做法是树剖树套树然后树上二分，一般3到4个 \(\log\)。这个题还可以用整体二分解决。

思考一下这道题目的整体二分过程：二分一个答案 \(mid\)，把所有的 \(>mid\) 的修改放到一个数据结构里，然后查询树上路径和。这显然可以使用树剖+线段树维护，单点加和区间查询，复杂度是 \(n\log^2 n\)。加上整体二分，总的复杂度是 \(O(n\log^2 n\log v)\)。如果值域较大，也可以先离散化，优化到 \(O(n\log^3 n)\)。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=80000+13;
struct Node{int x,y,k,op;}q[N<<2],lq[N<<2],rq[N<<2];
struct Edge{int v,nxt;}e[N<<1];
int n,m,tot,cnt,h[N],a[N],ans[N];
int fa[N],dep[N],siz[N],son[N],id[N],top[N],dfs_clock;
inline void add(int u,int v){e[++tot]=(Edge){v,h[u]};h[u]=tot;}
void dfs1(int u,int f,int deep){
	fa[u]=f,dep[u]=deep,siz[u]=1;
	int maxson=0;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v;if(v==f) continue;
		dfs1(v,u,deep+1);
		siz[u]+=siz[v];
		if(siz[v]>maxson) maxson=siz[v],son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int topf){
	top[u]=topf,id[u]=++dfs_clock;
	if(!son[u]) return;
	dfs2(son[u],topf);
	for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v;
		if(v!=fa[u]&&v!=son[u]) dfs2(v,v);
	}
}
struct SegTree{int l,r,sum;}t[N<<2];
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define mid ((t[p].l+t[p].r)>>1)
inline void refresh(int p){t[p].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;}
void build(int p,int l,int r){
	t[p].l=l,t[p].r=r;
	if(l==r) return;
	build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
}
void update(int p,int x,int k){
	if(t[p].l==t[p].r) return t[p].sum+=k,void();
	x<=mid?update(ls,x,k):update(rs,x,k);
	refresh(p);
}
int query(int p,int l,int r){
	if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r) return t[p].sum;
	int res=0;
	if(l<=mid) res+=query(ls,l,r);
	if(r>mid) res+=query(rs,l,r);
	return res;
}
#undef mid
int t_query(int u,int v){
	int res=0;
	while(top[u]!=top[v]){
		if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
		res+=query(1,id[top[u]],id[u]);
		u=fa[top[u]]; 
	}
	if(id[u]>id[v]) swap(u,v);
	res+=query(1,id[u],id[v]);
	return res;
}
void solve(int L,int R,int l,int r){
	if(l>r) return;
	if(L==R){
		for(int i=l;i<=r;++i)
			if(q[i].op) ans[q[i].op]=L;
		return;
	}
	int mid=(L+R)>>1,lt=0,rt=0;
	for(int i=l;i<=r;++i){
		if(!q[i].op){
			if(q[i].k>mid) update(1,id[q[i].x],q[i].y),rq[++rt]=q[i];
			else lq[++lt]=q[i];
		}
		else{
			int res=t_query(q[i].x,q[i].y);
			if(res>=q[i].k) rq[++rt]=q[i];
			else q[i].k-=res,lq[++lt]=q[i];
		}
	}
	for(int i=l;i<=r;++i)
		if(!q[i].op&&q[i].k>mid) update(1,id[q[i].x],-q[i].y);
	for(int i=1;i<=lt;++i) q[l+i-1]=lq[i];
	for(int i=1;i<=rt;++i) q[l+lt+i-1]=rq[i];
	solve(L,mid,l,l+lt-1);
	solve(mid+1,R,l+lt,r);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x;i<=n;++i){
		scanf("%d",&x);a[i]=x;
		q[++cnt]=(Node){i,1,x,0};
	}
	for(int i=1,u,v;i<n;++i) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);
	dfs1(1,0,0),dfs2(1,1);build(1,1,n);
	for(int i=1,op,x,y;i<=m;++i){
		scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
		if(!op){
			q[++cnt]=(Node){x,-1,a[x],0};
			q[++cnt]=(Node){x,1,a[x]=y,0};
		}
		else q[++cnt]=(Node){x,y,op,i}; 
	}
	memset(ans,-1,sizeof ans);
	solve(0,1e8,1,cnt);
	for(int i=1;i<=m;++i)
		if(ans[i]>=0){
			if(!ans[i]) puts("invalid request!");
			else printf("%d\n",ans[i]);
		}
	return 0;
}