P2774 方格取数问题 题解

Post time: 2020-02-24 09:40:26

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这道题目解法很妙，主要用到了最大和 \(=\) 总和 \(-\) 最小舍弃和。

最小舍弃和即最小割（我们构造出一个二分图满足割掉 \(=\) 舍去），我们又知最小割 \(=\) 最大流，所以是一道最大流问题。

考虑建图：

我们发现，只要两个点相邻（不兼容），那么这两个点的横纵坐标和的奇偶性一定不同，即 \((x_i+y_i)\bmod 2 \neq (x_j+y_j)\bmod 2\)，所以我们可以把整个图分成 \((x_i+y_i)\bmod 2=0\) 的点集和 \((x_i+y_i)\bmod 2=1\) 的点集。这样就构成了二分图。

考虑构图：

将这两个点集分别全部连向 \(S\) 和 \(T\)（边权即为此方格中的数），中间相邻点连边（边权为 \(INF\)）。这样我们可以保证形成最小割时，图的中间所有边都没被删，也就达成了割掉 \(=\) 舍去这一目的。最终，跑最大流即可。

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=20000+21,INF=0x3f3f3f3f;
struct Edge{int u,v,w,nxt;}e[N*100];
struct Node{int u,val;bool operator <(const Node &a)const{return val<a.val;};};
priority_queue<Node>q;//HLPP用优先队列优化
int dx[4]={-1,1,0,0},dy[4]={0,0,-1,1};
int h[N],gap[N],flow[N],d[N];
bool vis[N];
int n,m,s,t,sum,tot=1;
inline int getnum(int x,int y){return (x-1)*m+y;}
inline bool check(int x,int y){return x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m;}
inline void add(int u,int v,int w){//别忘了反向边
	e[++tot]=(Edge){u,v,w,h[u]};h[u]=tot;
	e[++tot]=(Edge){v,u,0,h[v]};h[v]=tot;
}
bool bfs(){
	memset(d,-1,sizeof(d));
	queue<int>Q;
	Q.push(t);//HLPP反向建边
	d[t]=0;
	while(!Q.empty()){
		int u=Q.front();
		Q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].v,w=e[i^1].w;//注意反向边
			if(d[v]==-1&&w){
				d[v]=d[u]+1;
				Q.push(v);
			}
		}
	}
	return d[s]!=-1;
}
void Init(){//队列初始化
	for(int i=h[s];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(w){
			e[i].w=0,e[i^1].w=w;
			flow[s]-=w,flow[v]+=w;
			if(v!=s&&v!=t&&!vis[v]){
				vis[v]=1;
				q.push((Node){v,d[v]});
			}
		}
	}
}
void Push(int u){//扫描到u点，把u点的流往下推进
	for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(d[u]==d[v]+1&&w){
			int f=min(flow[u],w);
			e[i].w-=f,e[i^1].w+=f;
			flow[u]-=f,flow[v]+=f;
			if(v!=s&&v!=t&&!vis[v]){
				vis[v]=1;
				q.push((Node){v,d[v]});
			}
		}
	}
}
void Gap(int u){//断层优化，把所有点的层数都改为源点+1，使其尽快流回源点
	for(int i=1;i<=n*m;++i){
		if(i!=s&&i!=t&&d[i]>d[u]&&d[i]<=n) d[i]=n+1;
	}
}
void Relabel(int u){//把u点的层设为它连向的点中最小的层数+1，保证能流
	d[u]=INF;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(w) d[u]=min(d[u],d[v]);
	}
	d[u]++;
}
int HLPP(){
	if(!bfs()) return 0;
	memset(gap,0,sizeof(gap));
	memset(flow,0,sizeof(flow));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	d[s]=n;
	for(int i=1;i<=n*m;++i){
		if(d[i]!=-1) gap[d[i]]++;
	}
	Init();
	while(!q.empty()){
		int u=q.top().u;
		q.pop();
		vis[u]=0;
		Push(u);
		if(flow[u]){
			gap[d[u]]--;
			if(!gap[d[u]]) Gap(u);
			Relabel(u);
			gap[d[u]]++;
			vis[u]=1;
			q.push((Node){u,d[u]});
		}
	}
	return flow[t];//最终推到汇点的就是最大流
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);s=n*m+1,t=n*m+2;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1,w;j<=m;++j){
			bool ok=0;
			scanf("%d",&w);
			sum+=w;//总和
			int k=getnum(i,j);
            //构造二分图
			if((i+j)%2) add(s,k,w),ok=1;//一个集连向源点
			else add(k,t,w);//另一个集连向汇点
			if(ok){
				for(int q=0;q<4;++q){
					int ex=i+dx[q],ey=j+dy[q];
					if(check(ex,ey)){
						int p=getnum(ex,ey);
						if((ex+ey)%2) swap(k,p);
						add(k,p,INF);//相邻点连边，注意顺序啊！
					}
				}	
			}
		}
	}
	int ans=sum-HLPP();//我使用的是HLPP预留推进来做这个题的，没学过的请右转板子题P4722
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

初学HLPP，板子不好看，请各位巨佬神犇见谅。