CF1468A LaIS 题解

首先可以写出这样一个方程

\[dp_i=\max_{j<i,a_j\leq a_i}\{dp_j+1+w(i,j)\} \]

其中，\(w(i,j)=0/1\) 表示 \([i+1,j-1]\) 有没有比 \(a_i\) 和 \(a_j\) 都大的数。

考虑维护每个点的 \(pre\) 表示 \(\max_{a_j\geq a_i}\{j\}\)，这样上面那个 dp 相当于

\[dp_i=\max(\max_{j<pre,a_j\leq a_i}\{dp_j\}+2,\max_{pre\leq j<i,a_j\leq a_i}\{dp_j\}+1) \]

用线段树维护 dp 值，这相当于查历史版本的区间 \(\max\)，使用可持久化线段树做即可，也可以离线之后扫描线。

code by CCCCOrz：

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#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
inline int rd(){
	register int x=0;
	register char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x;
}
inline int mmax(const int &x,const int &y){return x>y?x:y;}
int n,cnt,a[500010],dp[500010],to[500010],pre[500010],rt[500010],ans,tot;
struct node{
	int ls,rs,mx;
}t[10000010];
struct qd{
	int val,at;
	inline bool operator <(const qd &x)const{
		return val>x.val;
	}
};
inline int qus(int l,int r,int p,const int &e){
	if(e>=r)return t[p].mx;
	int mid=l+r>>1,ans=qus(l,mid,t[p].ls,e);
	if(e>mid)ans=mmax(ans,qus(mid+1,r,t[p].rs,e));
	return ans;
}
inline int ist(int l,int r,int p,const int &w,const int &val){
	if(l==r){
		t[++tot]=(node){0,0,val};
		return tot;
	}
	int mid=l+r>>1,nw=++tot;
	if(w<=mid){
		t[nw].ls=ist(l,mid,t[p].ls,w,val);
		t[nw].rs=t[p].rs;
	}
	else{
		t[nw].ls=t[p].ls;
		t[nw].rs=ist(mid+1,r,t[p].rs,w,val);
	}
	t[nw].mx=mmax(t[t[nw].ls].mx,t[t[nw].rs].mx);
	return nw;
}
int main(){
	cnt=rd();
	while(cnt--){
		n=rd(),tot=0,ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=rd(),pre[i]=0;
		priority_queue<qd> q;
		for(int i=n;i;--i){
			q.push((qd){a[i],i});
			while(a[i]>q.top().val)
				pre[q.top().at]=i,q.pop();
		}
		dp[1]=1,rt[1]=ist(1,n,0,a[1],1);
		for(int i=2;i<=n;++i){
			dp[i]=mmax(qus(1,n,rt[pre[i]],a[i])+2,qus(1,n,rt[i-1],a[i])+1);
			rt[i]=ist(1,n,rt[i-1],a[i],dp[i]);
			ans=mmax(ans,dp[i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}