CF1103C Johnny Solving 题解

首先考虑建出 dfs 树，如果一个点的深度 \(\geq \frac{n}{k}\)，那么直接输出这个点到根的路径即可。

如果没有点深度 \(\geq \frac{n}{k}\)，可以证明这棵树一定有不少于 \(k\) 个叶子（考虑反证法，如果叶子个数少于 \(k\)，那么点数最多也不到 \(k\cdot \frac{n}{k}=n\) 不可能）。由于每个点的度数都不少于 \(3\)，所以这个叶子节点一定有至少两条返祖边（dfs树上没有横叉边）。设这两个祖先为 \(u,v\)，叶子节点为 \(x\)，那么我们可以证明，\(x\to u\to x,x\to v\to x,x\to u\to v\to x\) 三条路径中至少有一条长度 \(\bmod 3\) 不是 \(0\)。

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const int N=1e6+13;
int n,m,k,a[N],cnt,ans[N],fa[N],dep[N];
std::vector<int> g[N];
void dfs(int u,int f){
	dep[u]=dep[f]+1,fa[u]=f;
	bool son=0;
	for(auto v:g[u])
		if(!dep[v]) dfs(v,u),son=1;
	if(!son) a[++cnt]=u;
}
int main(){
	read(n),read(m),read(k);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u,v;read(u),read(v);
		g[u].pb(v),g[v].pb(u);
	}
	dfs(1,0);
	int p=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		if(dep[i]>dep[p]) p=i;
	if(dep[p]>=n/k){
		println("PATH");
		int tot=0;
		while(p) ans[++tot]=p,p=fa[p];
		println(tot);
		for(int i=1;i<=tot;++i) print(ans[i]),print(' ');
	}
	else{
		println("CYCLES");
		for(int i=1;i<=k;++i){
			int u=a[i],fa1=0,fa2=0,tot=0;
			for(auto v:g[u]){
				if(v==fa[u]) continue;
				if(!fa1) fa1=v;else if(!fa2) fa2=v;
				if(fa2) break;
			}
			if((dep[u]-dep[fa1])%3!=2){
				int p=u;
				while(p!=fa1) ans[++tot]=p,p=fa[p];
				ans[++tot]=fa1;
				println(tot);
				for(int i=1;i<=tot;++i) print(ans[i]),print(' ');print('\n');
			}
			else if((dep[u]-dep[fa2])%3!=2){
				int p=u;
				while(p!=fa2) ans[++tot]=p,p=fa[p];
				ans[++tot]=fa2;
				println(tot);
				for(int i=1;i<=tot;++i) print(ans[i]),print(' ');print('\n');
			}
			else{
				ans[++tot]=u;
				if(dep[fa1]<dep[fa2]) swap(fa1,fa2);
				int p=fa1;
				while(p!=fa2) ans[++tot]=p,p=fa[p];
				ans[++tot]=fa2;
				println(tot);
				for(int i=1;i<=tot;++i) print(ans[i]),print(' ');print('\n');
			}
		}
	}
	return 0;
}