AT2663 [ARC079D]Namori Grundy 题解

题面

基环树，树的部分容易发现，每个点的值都是确定的，也就是所有儿子的值的 \(mex\)。直接对非环部分进行树形 dp，考虑环上部分。由于环上的点都还有一条出边，所以如果环上的点通过树形 dp 求得的答案是 \(x\)，那么它有两种可能：\(x\) 和所有儿子加入 \(x\) 后的 \(mex\)。随便找一条边断环成链，只需要枚举开头点的两种可能取值，绕一圈还是上述方法全求出其他点的值之后，判断一下这条边是否合法就行了。

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const int N=2e5+13;
struct Edge{int v,nxt;}e[N];
int h[N],tot;
std::vector<int> g[N];
inline void add_edge(int u,int v){e[++tot]=(Edge){v,h[u]};h[u]=tot;}
int n,d[N],a[N],m,mx1[N],mx2[N],b[N];
bool vis[N];
inline void init(){
	std::queue<int> q;while(!q.empty())q.pop();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(d[i]==1) vis[i]=1,q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].v;
			--d[v];
			if(d[v]==1) vis[v]=1,q.push(v);
		}
	}
}
void dfs1(int u){
	vis[u]=1,a[++m]=u;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v;
		if(!vis[v]) dfs1(v);
	}
}
void dfs2(int u,int fa){
	std::vector<int> son;son.clear();
	for(auto v:g[u]){
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dfs2(v,u);son.pb(mx1[v]);
	}
	std::sort(son.begin(),son.end());
	mx1[u]=0;
	for(int i=0,l=son.size();i<l;++i){
		if(son[i]>mx1[u]) break;
		if(son[i]==mx1[u]) ++mx1[u];
	}
	mx2[u]=mx1[u]+1;
	for(int i=0,l=son.size();i<l;++i){
		if(son[i]<=mx1[u]) continue;
		if(son[i]>mx2[u]) break;
		if(son[i]==mx2[u]) ++mx2[u];
	}
}
int main(){
//file();
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int x;read(x);
		d[i]++,d[x]++;
		add_edge(i,x),g[x].pb(i);
	}
	init();
	int st=1;while(vis[st]) ++st;
	dfs1(st);
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=1;i<=m;++i) vis[a[i]]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i) dfs2(a[i],0);
	b[a[1]]=mx1[a[1]];
	for(int i=2;i<=m;++i){
		if(b[a[i-1]]==mx1[a[i]]) b[a[i]]=mx2[a[i]];
		else b[a[i]]=mx1[a[i]];
	}
	if(b[a[1]]!=b[a[m]]) return println("POSSIBLE"),0;
	b[a[1]]=mx2[a[1]];
	for(int i=2;i<=m;++i){
		if(b[a[i-1]]==mx1[a[i]]) b[a[i]]=mx2[a[i]];
		else b[a[i]]=mx1[a[i]];
	}
	if(mx1[a[1]]==b[a[m]]) return println("POSSIBLE"),0;
	println("IMPOSSIBLE");
	return 0;
}