动态规划基础

引入

动态规划简介

• 动态规划 $dp=DynamicProgramming$
• 线性 $dp$：状态定义与题设线性相关
• 将原问题分解成若干子问题
• 设计状态：状态是当前问题所在的局面
• 满足性质：无后效性，最优子结构
• 转移：状态之间的关系，用转移方程描述
• 动态规划（递推） 和 记忆化搜索（递归） 时间复杂度相同
  • 记忆化搜索可以规避转移顺序，且方便处理边界情况
  • 记忆化搜索效率较低，且难以优化、调试

例子：最长上升子序列

• 状态：以第 $x$ 个元素结尾的最长上升子序列（$LIS$）的长度，用 $f_x$ 表示
• 转移：最长上升子序列一定是接在某个上升子序列尾部形成的
• 刻画整体的转移路径：
  • 把每一个状态视作一个节点，把状态转移视作一条有向边，串联起来构成有向无环图（$DAG$）
  • 所以根据拓扑序对图进行遍历来求解问题（拓扑排序）
  • 动态规划遍历顺序称为阶段

动态规划三要素

• 状态（描述问题局面）
• 转移（状态之间的数学关系）
• 阶段（计算状态的顺序）

B3635 硬币问题

• 题意简述：用 $1,5,11$ 元的硬币凑出 $n$ 元，最少需要多少硬币？
• 状态：$d{p}_n$ 表示凑出 $n$ 元所需要的最少硬币数量
• 转移：$d{p}_i=min(dp[i-1],dp[i-5],dp[i-11])+1$
• 解释：凑出 $n$ 元有三种局面
  • 凑出 $n-1$ 元，拿出一个 $1$ 元硬币
  • 凑出 $n-5$ 元，拿出一个 $5$ 元硬币
  • 凑出 $n-11$ 元，拿出一个 $11$ 元硬币
  • 取三个当中的最小值

一维线性 $dp$

例题：P1091

• 使用 $dp$ 求出 LIS 和 LDS，枚举中间最高的那个人

优化最长上升子序列

• 第一种枚举时间复杂度 $O(n^2)$，但存在大量重复枚举
• 记录以前选的所有数的下标，对于元素 $x$
  • 如果 $x$ 小于最大值，那么替换掉第一个大于它的数
  • 如果 $x$ 大于最大值，那么插入到最后
• 优化后时间复杂度 $O(nlogn)$

二维线性 $dp$

例题：P1216

• 状态：设 $f[i][j]$ 表示到了位置 $(i,j)$ 时可以得到的最大数字和
• 转移：$f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j]$

例子：最长公共子序列

• 给定两个序列 $A,B$，求最长公共子序列（$LCS$）的长度

优化前

• 状态：$f[i,j]$ 表示第一个排列前 $i$ 个元素和第二个排列前 $j$ 个元素，最长公共子序列的长度
• 转移：$$f[i,j]=f[i-1][j-1]+1,A_i=B_j$$

$$f[i,j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]),A_i\ne B_j$$

$$f[i][j]=\{\begin{array}{ll}f[i-1][j-1]+1& A[i]=B[j]\\ max(f[i-1][j],f[i][j-1])& A[i]\ne B[j]\end{array}$$

优化后

• 重新标号：把 $A$ 用字母标成单调递增数列，再用这样的标号标记 $B$，求 $B$ 的最长上升序列

例题：P1004

• $f[step][a][b][x][y]$ 表示走了 $step$ 步，甲走到 $(a,b)$，乙走到 $(x,y)$
• 把 step 一维省略：变为四维 dp
• $f[step][a][b][x][y]=\mathrm{走}\mathrm{到}\mathrm{当}\mathrm{前}\mathrm{格}\mathrm{对}\mathrm{答}\mathrm{案}\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}+$
  • $f[step][a-1][b][x-1][y]$
  • $f[step][a-1][b][x][y-1]$
  • $f[step][a][b-1][x-1][y]$
  • $f[step][a][b-1][x][y-1]$

背包 $dp$

01 背包（一个物品只能选择一次）

• $w$ 表示重量，$v$ 表示价值，$N$ 表示物品个数，$W$ 表示背包容量，$f$ 表示 $dp$ 数组
• 注意：第二层循环必须从大到小枚举！

for (int i = 1; i <= N; i ++) {
    for (int j = W; j >= w[i]; j --)
        f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
}

完全背包（每个物品可以无限次选择）

for (int i = 1; i <= N; i ++) {
    for (int j = w[i]; j <= W; j ++)
        f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
}

多重背包（每个物品可以选择 $k_i$ 次）

• 第一种：转换成 01 背包
  • 时间复杂度 $O(nW\sum k_i)$
• 第二种（二进制优化）：把每个 $k$ 拆成二进制表示，即$1+2+4+...+2^n$，变成了 $log{k}_i$，再进行 01 背包
  • 时间复杂度 $O(nW\sum log{k}_i)$

混合背包例题：P1833

• 由于总时间有限，把完全背包的无限次转化为 $1000$ 次
• 01 背包就是多重背包中的 $k=1$

分组背包例题：P1757

• 物品被划分成 $k$ 组，每一组内只能选择最多 $1$ 个物品
• 组内先枚举物品重量，再内聚物品编号
• 共三维：组、重量、编号

依赖背包例题：P1064

• 每一种主件的四种情况
  • 只购买主件
  • 购买主件，附件 A
  • 购买主件，附件 B
  • 购买主件，附件 AB

区间 $dp$

区间 $dp$ 介绍

• 在区间上做动态规划，求在区间上的最优解
• 区间 $dp$ 的状态通常包括区间信息 $(l,r)$
• 子区间信息满足区间加法
• 分治思想：大区间信息由小区间获得

区间 $dp$ 例题：P1775

对环形问题的处理

• 使用破环成链的思想
• 将数组倍长，令 $a[i+n]=a[i]$

环上 $dp$ 例题：P1063

• $f[l][r]$ 表示将 $[l,r]$ 范围内全部能量珠合并释放的最大能量，可得 $f[l][r]=max(f[l][k]+f[k+1][r]+a[l]\times b[i]\times b[r])$