数学与数论

数学知识

• 平面直角坐标系

• 二次方程与二次函数

• 简记符号：$\sum$ $\prod$ $\lfloor n\rfloor$ 连加 连乘 向下取整

• 等差数列求首项、求末项、求和公式

• 等比数列首项为 $a$，公比为 $q$，项数为 $n$，求和

  • 等比数列：$S=a+aq+a{q}^2+...+a{q}^{n-1}$ $\mathrm{①}$
  • $qS=aq+a{q}^2+...+a{q}^n$ $\mathrm{②}$
  • $\mathrm{②}-\mathrm{①}$：$S=a\times \frac{1-q^n}{1-q}$

• 等比数列首项为 $a$，公比为 $q$，有无穷项，求和（若存在）

  • $S=\frac{a}{1-q}$

• 计算 $\sum _{i=1}^n\frac{n}{i}$：不超过 $n\times logn$

• 调和级数：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$

  • 可以视为 $O(n\times logn)$
  • 在做数学、数论（尤其是和倍数有关）的题时对计算时间复杂度有用

• 快速幂（$a^b$）

  • 对 $b$ 进行二进制拆分，同时对 $a$ 进行倍增完成求幂
  • 时间复杂度 $O(logb)$
  • std::pow 优先保证精度，再保证速度
  • 快速幂模板

数论知识

• 整除，约数，倍数，最大公约数 $gcd$，最小公倍数 $lcm$
  • 辗转相除法求 gcd 模板
  • 互质：最大公约数为 1
  • $lcm(a,b)=\frac{a\times b}{gcd(a,b)}$
• 质数：如果 $1<k<n$ 的整数 $k$ 都不是 $n$ 的约数
  • 质数判断易错点：特判 $1$ 为质数
  • 质数判断易错点：循环变量 $i$ 设为 long long
  • $\pi (x)$ 表示小于等于 $x$ 的质数个数
  • $\pi (x)$ ~ $\frac{x}{lo{g}_e(x)}$
  • ~ 同阶符号（增长速度一致，但是可能会有常数）
• 埃氏筛质数
  • 时间 $O(nloglogn)$
  • 空间 $O(n)$
• 欧拉筛质数（每一个合数必须被它的最小质因子标记）
  • 时间 $O(n)$
  • 空间 $O(n)$
  • 核心代码：if (i % pri[j] == 0) break;
• 唯一分解定理
  • 如果 $n\ge 2$ 且是整数，则有唯一分解式$$n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i}$$ 其中 $p_1<p_2<...<p_m$ 为质数，$k_i$ 为正整数
• 模运算与同余定理
  • 如果 $a,b$ 为正整数，则 $a$ % $b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b$
  • 同余定理符合加、减、乘、次方，但是不满足除！！
  • 同于符号 $\equiv$
• 不定方程定理（裴蜀定理）
  • $ax+by=gcd(a,b)$
  • 求解使用扩展欧几里得算法（特判 $b=0$）
  • 例题：P1082 同余方程（求乘法逆元）
    • 原式可转化为：$ax-by=1$
    • 根据裴蜀定理，$ax+by=gcd(a,b)$ 必存在解，原题又保证有解，所以 $gcd(a,b)=1$（$a,b$ 互质）
    • AC记录

组合计数

• 加法原理和乘法原理
• 排列数 $A_n^m$ （或 $P_n^m$）
• 组合数 $C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}$
• 关于组合数的恒等式

  • $$C_n^m=C_n^{n-m}$$

  • $$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}（\mathrm{杨}\mathrm{辉}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{递}\mathrm{推}）$$
    • 杨辉三角递推
    • 选第一个的情况数和不选第一个的情况数相加

  • $$\sum _{i=0}^n{C}_n^i=2^n$$
    • 在 $n$ 个东西中选 $1$ 个，$2$ 个 ... $n$ 个的所有情况相当于所有元素选或者不选

  • $$(x+y{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^{n-i}{y}^i$$
    • 二项式定理
• 常见计数方法
  • 捆绑法（某些元素必须相邻）
  • 插空法（某些元素必须不相邻）
  • 隔板法（将元素进行分组）
• 容斥原理
  • 二元容斥 $|A|+|B|-|AB|$
  • 三元容斥 $|A|+|B|+|C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|-|A\cap B\cap C|$
  • $n$ 元容斥
  • 例题：P1313 计算系数
  • 例题：P2822 组合数问题
  • 例题：P8557 炼金术