详细揭秘

约数函数(揭秘帖)

结论:

\[\sigma_k(ij)=\sum_{d_1|i}\sum_{d_2|j} [d_1\perp d_2] d_1^k({j\over d_2})^k \]

这个式子是考虑计算\(\sigma_k\)分解质因数的那个方法，考虑\(i\)每一项的贡献系数。

互质的限制是防止\(d_1\)和\(d_2\)约分

可以方便莫比乌斯反演

记一个格路和背包的神奇相互转化

结论

\[({1\over 1-z})^{s}=\sum_i {s+i\choose i} z^i \]

组合意义:

右边可以理解为一个格路问题，从\((0,0)\)到\((s,i|i\ge 0)\)的路径条数乘上\(z^i\)。也就是从\(O\)走到直线\(x=s\)的路径乘上对应权值。

左边是从\((0,0)\)开始往右上方走，从左往右走的过程中，每次可以选择往上走\(0,1,2\dots +\infin\)步，往上走了多少步就有\(z^?\)的权值乘上来。

那么重复\(s\)次就到达了直线\(x=s\)。