【题解】Another Coin Weighing Puzzle (构造)

【题解】Another Coin Weighing Puzzle (构造)

或许，这就是神仙题吧

你有\(n\)包硬币，每包硬币里面都恰好有\(k\)个硬币。有一包硬币是假的，且假的硬币比真硬币重，且同种硬币重量相同(是个实数)。你可以使用天平称硬币，使用天平的条件是两边有数量相等的硬币。使用天平会返回两边重量之差，测量完之后硬币任你处置。你必须在第一次测量之前确定整个测量的行动策略(但是你可以通过观察每次的结果，把你预设的操作做完后回答假币是哪包)，一包硬币中的\(k\)个硬币外观一样且和别的包的不一样(因此你可以辨认某个硬币是从哪包来的)，在你最多使用天平\(m\)次的前提下，你最多可以在\(n\)等于多少包中，还能根据你的行动策略确定硬币中假的那一包。答案对\(998244353\)取模。

硬币哥感觉这题很妙

一包硬币的策略可以看做一个数列。设一个数列\(\{a\}\) 代表那包假的硬币每一轮放了多少，这个数列长度为\(m\)且元素的值域为\([-k,k]\)，正的值代表放天平右边，负的值代表放左边，0代表这轮不放

设真硬币重量为\(w\)，假硬币重量为\(tw,t>1\)，第\(i\)轮的差值为\(s_i\)

那么

\[(t-1)wa_i=s_i \]

\(t,w\)是定值，我们可以知道:

\[{a_i\over a_j}={s_j\over s_i} \]

(当\(s_i=0,\text{then }a_i=0\)，若\(s\)全为0那么\(a\)全为0)

\(s\)的具体大小对确定\(a\)是无意义的，这个值可以由\(t,w\)任意调节。

但可以通过\(s\)可以得到\(a\)的比值，此外假若\(a\)数列所有非零元素的绝对值的\(\gcd> 1\)，这个策略和\(\{{a_i\over \gcd}\}\)是等价的，因此我们规定代表策略的数列的\(\gcd =1\)。

显然，\(t,w\)不变的情况下，\(s\)数列和\(\gcd=1\)的数列\(\{a\}\)一一对应。假设总共有\(S\)种不同的\(s\)，那么我们弄\(S\)包硬币，且每包硬币分配一个不同的\(\{a\}\)，这样就可以根据\(s\)直接确定哪一包硬币是假的了，又根据抽屉原理不存在\(n>S\)，而这个构造\(n=S\)。这么看来，\(n=S=\text{count } s=\text{count } a\)

那么现在的问题就是\(\text{count } a\)，经典莫比乌斯反演

\[\text{ans}=\sum_{i=1}^k \mu(i)\big((1+\lfloor{k\over i}\rfloor)^m-1\big) \]

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
	int ret=0,f=0,c=getchar();
	while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
	return f?-ret:ret;
}
const int maxn=1e6+5;
const int mod=998244353;
int mu[maxn],pr[maxn],cnt,usd[maxn];
void pre(const int&n){
	mu[1]=1;
	for(int t=2;t<=n;++t){
		if(!usd[t]) mu[t]=mod-1,pr[++cnt]=t;
		for(int i=1;i<=cnt;++i){
			if(1ll*pr[i]*t>n) break;
			usd[pr[i]*t]=1;
			if(t%pr[i]) mu[pr[i]*t]=mod-mu[t];
			else break;
		}
	}
}
int ksm(const int&ba,const int&p){
	int ret=1;
	for(int t=p,b=ba;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)
		if(t&1) ret=1ll*ret*b%mod;
	return ret;
}
int main(){
	pre(1e6);
	int m=qr(),k=qr(),Doinb=1;
	for(int t=1;t<=k;++t)
		Doinb=(Doinb+1ll*mu[t]*(ksm(k/t*2+1,m)-1))%mod;
	cout<<Doinb<<endl;
	return 0;
}