【题解】#6622. 「THUPC 2019」找树 / findtree(Matrix Tree+FWT)

【题解】#6622. 「THUPC 2019」找树 / findtree(Matrix Tree+FWT)

之前做这道题不理解，有一点走火入魔了，甚至想要一本近世代数来看，然后通过人类智慧思考后发现，这道理可以用打马后炮别的方式来理解。

先放松一点条件，假如位运算只有一种，定位某一颗生成树，那么可以知道

\[w(T)=\oplus_{w\in W} w \]

写成生成函数的形式，对于每条边就是

\[h((i,j))=[\exist e=(i,j,w)]x^w \]

现在重边可以看做一条边了

那么可以知道

\[h(T)=\oplus h(w|w\in W) \]

很显然，我们对\(h(x)\)做FWT，就得到了\(H(x)\)

\[H(T)=* H(w) \]

其中\(*\)表示点积。

考虑这个FWT函数的每一位，它都是由点积而来的，也就是说第x位上H(T)数组的最终值和其他位置上的值无关。

那么我们对每条边做一个FWT后，每两个点之间有一个\(2^w\)次方大小的数组(w是题目里的w)，对于每一个值都做一遍Matrix Tree，得到了一个值\(c_w\)。

根据Matrix Tree的原理，这就相当于\(O({m\choose n-1})\)地枚举边集，然后再将每条边的边权(一个生成函数做沃氏变换后变成的生成函数)相乘求和。显然就有了\(H=C\)。

还有一个问题是题目给定的鬼畜的运算，有个东西叫做扩展FWT，具体做法是对于每一位判断一下是哪个运算，然后直接按照对应的运算法则算就行。正确性可能显然?

于是这道题就完成了

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<assert.h>
#include<vector>

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
	int ret=0,f=0,c=getchar();
	while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
	return f?-ret:ret;
}
const int mod=998244353;
const int gi=(mod+1)/3;
const int g=3;
const int inv2=(mod+1)>>1;
const int maxn=13;
int n,m,ty[1<<maxn],w;
char C[maxn];
typedef vector<int> poly;
poly Mat[75][75],a[71];

inline int MOD(const int&x){return x>=mod?x-mod:x;}
inline int MOD(const int&x,const int&y){return 1ll*x*y%mod;}

inline int ksm(const int&ba,const int&p){
	int ret=1;
	for(int t=p,b=ba%mod;t;t>>=1,b=MOD(b,b))
		if(t&1) ret=MOD(ret,b);
	return ret;
}
inline int inv(int x){return ksm(x,mod-2);}

void FWT(poly&a,int op){
	int len=a.size();
	for(int t=1,c=0;t<len;t<<=1,++c)
		for(int i=0;i<len;i+=t<<1)
			for(int j=0;j<t;++j)
				if(ty[c]==0) a[i+j+t]=MOD(a[i+j+t]+MOD(op,a[i+j]));
				else if(ty[c]==1) a[i+j]=MOD(a[i+j]+MOD(op,a[i+j+t]));
				else {
					int t0=a[i+j],t1=a[i+j+t];
					a[i+j]=MOD(t0+t1),a[i+j+t]=MOD(t0-t1+mod);
					if(op!=1) a[i+j]=MOD(a[i+j],inv2),a[i+j+t]=MOD(a[i+j+t],inv2);
				}
}

poly operator + (poly a,poly b){
	a.resize(max(a.size(),b.size()));
	for(int t=0,ed=b.size();t<ed;++t) a[t]=MOD(a[t]+b[t]);
	return a;
}

poly operator *(int a,poly b){
	for(auto&t:b) t=MOD(t,a);
	return b;
}

void Gauss(){
	int sav=1;
	for(int t=1;t<n;++t){
		for(int i=t+1;i<n&&!a[t][t];++i)
			if(a[i][t]) sav=mod-sav,swap(a[t],a[i]);
		if(!a[t][t]) return;
		sav=MOD(sav,a[t][t]);
		for(int k=1,v=inv(a[t][t]);k<n;++k)
			a[t][k]=MOD(a[t][k],v);
		for(int i=t+1;i<n;++i)
			if(a[i][t])
				for(int k=1,v=inv(a[i][t]);k<n;++k)
					a[i][k]=MOD(a[i][k]-MOD(v,a[t][k])+mod);
	}
	a[1][1]=MOD(sav,a[1][1]);
}

int main(){
	n=qr(); m=qr();
	scanf("%s",C);
	w=strlen(C);
	for(int t=0;t<w;++t) ty[t]=C[t]=='&'?1:C[t]=='|'?2:3;
	for(int t=1;t<=n;++t)
		for(int i=1;i<=n;++i)
			Mat[t][i].resize(1<<w);
	for(int t=1,a,b,v;t<=m;++t){
		a=qr(),b=qr(),v=qr();
		Mat[a][b][v]=MOD(Mat[a][b][v]-1+mod);
		Mat[b][a][v]=MOD(Mat[b][a][v]-1+mod);
		Mat[a][a][v]=MOD(Mat[a][a][v]+1);
		Mat[b][b][v]=MOD(Mat[b][b][v]+1);
	}
	for(int t=1;t<n;++t)
		for(int i=1;i<n;++i)
			FWT(Mat[t][i],1);
	for(int t=1;t<n;++t) a[t].resize(n);
	poly ret(1<<w);
	for(int k=0;k<1<<w;++k){
		for(int t=1;t<n;++t)
			for(int i=1;i<n;++i)
				a[t][i]=Mat[t][i][k];
		Gauss(); ret[k]=1;
		for(int t=1;t<n;++t) ret[k]=MOD(ret[k],a[t][t]);
	}
	FWT(ret,-1);
	int ans=-1;
	for(int t=0;t<1<<w;++t)
		if(ret[t]) ans=t;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}