Card Collector(期望+min-max容斥)

Card Collector(期望+min-max容斥)

Card Collector

woc居然在毫不知情的情况下写出一个min-max容斥

题意

买一包方便面有几率附赠一张卡，有\(n\)种卡，每种卡出现的概率是\(p_i\),保证\(\Sigma p_i \le 1\)，集齐所有种类卡牌期望买多少包方便面？

解法

看次题解前，你必须要理解当只有一种卡，他出现的概率是\(p\)，那么我期望购买$\frac 1 p $包方便面就可以获得这种卡。

否则请你右上角，因为博主不会解释...

唯一的解释就是：

(期望购买包数)\(\times\)(每包里面出现一张的概率)=(张数)

所以把概率除过去就好了...

我们想把所有\(\frac 1 p\)加起来，发现这样的错误的，原因是我们忽略了每次抽卡牌的时候可能抽到别的卡牌，把所有$\frac 1 p $加起来相当于必须抽到一张卡牌后才能抽到另一张，这样是不对的。

但是这样启示我们可以容斥，根据一些显然的概率原理(如果你不承认就右上角)，出现\(1\)或者\(2\)号卡牌的概率是\(p_1+p_2\)。那么，\(\frac 1 {p_1+p_2}\)的意思是，我抽到一张\(1\)或者\(2\)的期望次数。那么，抽到一张\(1\)和一张\(2\)的期望次数就是

\[1/p_1+1/p_2-1/(p_1+p_2) \]

为什么我们的期望里要减去\(1/(p_1+p_2)\)，因为我抽\(1\)的时候可能抽出\(2\)，会省下一点期望，这个期望具体的值就是\(1/(p_1+p_2)\)(看不懂就右上角)。

所以我们就可以愉快地容斥了

\[E(A)=\sum_{t \subseteq U}(-1)^{|t|}(\frac 1 {\sum _{p \in t}p}) \]

实际上，这个式子就是\(min-max\)容斥。

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=25;
int num[maxn],n;
long double ans;
long double p[maxn];

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.in","r",stdin);
      freopen("out.out","w",stdout);
#endif
      num[1]=1;
      for(register int t=2;t<maxn;++t)
	    num[t]=num[t-1]<<1;
      while(~scanf("%ds",&n)){
	    for(register int t=1;t<=n;++t)
		  scanf("%Lf",&p[t]);
	    for(register int t=1,edd=1<<n;t<edd;++t){
		  long double delt=0;
		  register int cnt=0;
		  for(register int i=1;i<=n;++i)
			if(t&num[i]){
			      delt+=p[i];
			      ++cnt;
			}
		  if(cnt&1) ans+=1.0/delt;
		  else ans-=1.0/delt;
	    }
	    printf("%.4Lf\n",ans);
	    ans=0;
      }
      return 0;
}