【学习笔记】莫比乌斯反演

【学习笔记】莫比乌斯反演(其实只讲\(\mu\))

可能最常见的定义式是这样的:

\[F(x)=\Sigma_{d|x}f(x) \leftrightarrow f(x)=\Sigma_{d|x}\mu(x/d)F(x) \\or \\ F(x)=\Sigma_{x|d}f(x) \leftrightarrow f(x)=\Sigma_{x|d}\mu(d/x)F(x) \]

但是这并不是我们\(OI\)的重点..之前一直学不会这个东西就是因为老研究这个去了(我才不会说是\(NOIP\)模拟赛有毒瘤出题人以这样的形式让我和莫比乌斯函数见面)

实际上我们喜欢的是这个性质

\[\Sigma_{d|n}\mu(n)=[n=1] \]

假如一个式子里有乘积+约数或者什么什么+布尔值，那就套一下这个公式。

这个式子如何证明：

考虑枚举因数就相当于对于\(n=\prod p_i^{a_i}\)选不同的乘起来，你知道当\(d\)在一个\(p_i\)中选了超过一的指数，由于此时\(\exist x^2|n\)所以\(\mu(n)=0\)我们就可以不考虑它了。

所以情况只剩下选择不同的\(p_i\)了，等式就变成了我们选几个不同的素因子:\(\Sigma C_n^i (-1)^i\)，我们直接二项式定理可以得到等式\(=(-1+1)^n=0\)。

\(n=1\) 时的证明显然。

\(\text{talk is cheap , show me the 例题:}​\)

P2257 YYb的GCD

题意:求:

\[\Sigma_{i=1}^n \Sigma_{j=1}^m [(i,j) \in p] \]

(\([\ ]=\lfloor \rfloor\))

\[=\Sigma_{i=1}^n \Sigma_{j=1}^m [(i,j) \in p] \\ =\Sigma_{x\in p}\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^m[(i,j)=x] \\ =\Sigma_{x\in p}\Sigma_{i=1}^{n/d}\Sigma_{j=1}^{m/d}[(i,j)=1] \\ =\Sigma_{x\in p}\Sigma_{i=1}^{n/d}\Sigma_{j=1}^{m/d}\Sigma_{d|(i,j)}\mu(d) \\ =\Sigma_{x\in p}\Sigma_{d=1}^{min(m,n)/x}\mu(d)[n/dk][m/dk] \\assuem:T=dk \\ =\Sigma_{x\in p}\Sigma_{d=1}^{min(m,n)/x}\mu(d)[n/T][m/T] \\ =\Sigma_{T=1}^{min(m,n)}[n/T][m/T]\Sigma_{x\in p,x|T}\mu(T/x) \\assume:f(T)=\Sigma_{x\in p,x|T}\mu(T/x) \\ =\Sigma_{T=1}^{min(m,n)}[n/T][m/T]f(T) \]

预处理\(f(T)\)数组和他的前缀和，就可以数论分块\(O(n^{1.5})\)了。

怎么处理\(f(T)\) 呢？可以考虑先定位一个素数\(p\)，然后直接\(for(i=1\text{~}1e7)\)，把所有\(f(p \times i)+=\mu(i)\)。复杂度\(O(n)?\)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
inline int qr(){
      char c=getchar();
      register int ret=0,f=0;
      while(not isdigit(c)) f|=c==45,c=getchar();
      while(    isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;     
}
const int maxn=1e7+5;
typedef long long ll;
bool usd[maxn];
int mu[maxn];
int f[maxn];
ll sum[maxn];
vector < int  > pr;
#define pb push_back
inline void gen_mu(){
      mu[1]=usd[1]=1;
      for(int t=2;t< maxn;++t){
	    if(not usd[t]) pr.pb(t),mu[t]=-1;
	    for(auto i:pr)
		  if(1ll*i*t>=maxn) break;
		  else if(usd[i*t]=1,t%i) mu[t*i]=-mu[t];
		  else break;
      }
      for(auto i:pr)
	    for(int t=1;1ll*i*t< maxn;++t)
		  f[i*t]+=mu[t];
      for(int t=1;t< maxn;++t) sum[t]=sum[t-1]+1ll*f[t];
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.in","r",stdin);
      freopen("out.out","w",stdout);
#endif
      ll ans=0;
      gen_mu();
      for(int T=qr(),n,m;T;T--,ans=0){
	    n=qr();m=qr();
	    if(n>m) swap(n,m);
	    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		  r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*(sum[r]-sum[l-1]);
	    if(not ans) puts("0");
	    else printf("%lld\n",ans);
      }
      return 0;
}

[P3327 SDOI2015]约数个数和

先给个式子

\(d(ij)=\Sigma_{x|i}\Sigma_{y|j}[(x,y)=1]​\)

继续

\[=\Sigma_i^n \Sigma_j^md(ij) \\ =\Sigma_i^n \Sigma_j^m\Sigma_{x|i}\Sigma_{y|j}[(x,y)=1] \\ =\Sigma_i^n \Sigma_j^m\Sigma_{x|i}\Sigma_{y|j}\Sigma_{d|(x,y)}\mu(d) \\ =\Sigma_i^n \Sigma_j^m\Sigma_{x|i}\Sigma_{y|j}\Sigma_{d=1}^{min(m,n)}\mu(d) \times [d|(x,y)] \\ =\Sigma_{d=1}^{min(m,n)}\mu(d)\Sigma_i^n \Sigma_j^m\Sigma_{x|i}\Sigma_{y|j}[d|(x,y)] \\ =\Sigma_{d=1}^{min(m,n)}\mu(d)\Sigma_x^n \Sigma_y^m \lfloor \frac n x \rfloor\lfloor \frac m y\rfloor[d|(x,y)] \\ =\Sigma_{d=1}^{min(m,n)}\mu(d)\Sigma_x^{\lfloor \frac n d \rfloor} \lfloor \frac n {dx} \rfloor\Sigma_y^{\lfloor \frac m d \rfloor} \lfloor \frac m {dy}\rfloor \]

右边有两个\(floor​\)，可以数论分块。分块后可以直接乘上一段\(\mu​\)的前缀和。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;   typedef long long ll;
template < class ccf > inline ccf qr(ccf ret){ret=0;
      register char c=getchar();
      while(c<48||c>57) c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return ret;
}inline int qr(){return qr(1);}
#define pb push_back
const int maxn=5e4+5;
bool usd[maxn];
int mu[maxn];
int sum[maxn];
ll  pre[maxn];
vector < int > pr;

inline void gen_mu(){
      mu[1]=usd[1]=1;
      for(register int t=2;t< maxn;sum[t]=sum[t-1]+mu[t],++t){
	    if(not usd[t]) mu[t]=-1,pr.pb(t);
	    for(auto i:pr)
		  if(1ll*i*t>=maxn) continue;
		  else if(usd[i*t]=1,t%i) mu[i*t]=-mu[t];else break;
      }
      for(register ll t=1;t< maxn;++t)
	    for(register ll l=1,r;l<=t;l=r+1)
		  r=t/(t/l),pre[t]+=1ll*(r-l+1)*(t/l);
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.in","r",stdin);
      freopen("out.out","w",stdout);
#endif
      gen_mu();
      for(register int T=qr(),n,m;T;T--){
	    n=qr(1);m=qr(1);ll ans=0;
	    for(register ll l=1,r,edd=min(m,n);l<=edd;l=r+1)
		  r=min(n/(n/l),m/(m/l)),
			ans+=1ll*(0ll+sum[r]-sum[l-1])*pre[n/l]*pre[m/l];
	    printf("%lld\n",ans);
      }
      return 0;
}