从不浪费——分治总结

从不浪费——分治总结

充分利用题目的性质，充分利用已知的信息，就是分治降低时间复杂度的保证。

序列上的纯粹分治

• 例一CJOI2019矩阵级数
  • 考虑式子的含义，是不是\(\Sigma^{n} A^i =\Sigma^{\frac{n}{2}}A^i+A^{\frac{n}{2}}\Sigma^{\frac{n}{2}}A^i\)
  • 直接递归处理两边即可，时间复杂度\(O(logk)\)
• 例二CJOI2019Paiting Fence
  • 考虑上色到最底的那个后，就把问题分成序列上的子问题了。
  • 最多"涂到最底"层数是\(logn\)的，每层都要\(O(n)\)就好了。
• 例三CJOI2019Cipher
  • 这类感觉像数学题的题目，实际上可以分治。因为数字就是很多别的数的和，而且显然牵涉到数学我们可以用乘法或者次方来优化。甚至倍增。

小小结

我们发现，如果处理了序列的左边，就对序列的右边有帮助的话，可以直接分治，分治的复杂度与分治深度和每次合并的复杂度有关。涉及到数学的问题也可以用这种方法。

平面点分治

---

考虑到序列可以看做只有\(x\)轴的平面，是不是可以用序列分治类似的办法来解决坐标系的问题呢?

---

• 例一平面最近点对
  • 考虑到左右区间贡献的答案可以帮助我们确定枚举的起点或者终点。
  • 考虑到这类问题如果在序列上怎么做
• 例二[CJOI2019Chebnear]
  • 和例一是一样的，总是考虑最坏情况做复杂度分析。

然而凉心出题人会把问题出到树上\(\dots \dots\)