【模板】各类线性筛法

线性筛法是极其实用而高效的方法，一般是对于数论上的完全积性函数和积性函数才使用这种方法。

积性函数的定义：

• 对于互质的正整数\(p_1p_2\)，我们若有在正整数域上定义的函数，\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称\(f(x)\)为积性函数。若\(p_1p_2\)扩展到整数域内，则称为完全积性函数。

我们的线性筛法就是基于这样的数学原理，其中，线性筛素数是基础

线性筛素数

(以下代码默认):

#define RP(t,a,b) for(int t=(a),edd=(b);t<=edd;t++)

思想:

1. 当我们更新到\(i\)时，我们判断它是否是一个合数(是否被标记过)，否则是个质数，加入素数表中。
2. 将\(i×prime(j),\)注意\(i\)不能\(|prime(j)\),若发生整除则break，这保证了线性的复杂度

const int maxn=100005;
bool pr[maxn];
vector < int > prime;
inline void gen_prime(){
	RP(t,1,maxn-5)
		pr[t]=1;
	pr[0]=pr[1]=false;
	RP(t,2,maxn-5){
		if(pr[t])
			prime.push_back(t);
		RP(i,0,prime.size()-1){
			if(t*prime[i]>maxn)
				break;
			pr[t*prime[i]]=false;
			if(!(t%prime[i]))
				break;
		}
	}
	return;
}

线性筛\(\phi\)函数,欧拉函数：

关于欧拉函数:

1. 对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）
2. 对于质数\(p\),显然有\(\phi(p)=p-1\)
3. 对于奇数\(p\)，易得\(\phi(p)=\phi(2p)\)
4. 和费马小定理定理的联系

   • \(a^{\phi(m)} \equiv1\pmod{m}\)

   • 当\(m\)是质数时,
   • \(a^{m} \equiv a \pmod{m}\)

思想:（对于质数\(p\)）

1. 对于\(p_1p_2\)互质， \(\phi(p_1\times p_2)=\phi(p_1) \phi(p_2)\)
2. 若\(i\mod p= 0\), 那么\(phi(i * p)=p \times \phi(i)\)证明略
3. 若\(i \mod p ≠0\), 那么\(\phi(i \times p)=\phi(i)\times(p-1)\)
4. 质数和欧拉函数一起筛。

const int maxn=100005;
vector < int > prime;
int phi[maxn];
bool usd[maxn];
inline void gen_phi(void){
	int cnt=0;
	phi[1]=1;
	RP(t,2,maxn-5){
		if(!phi[t])
			phi[t]=t-1,prime.push_back(t);
		RP(i,0,prime.size()-1){
			if(prime[i]*t>maxn)
				break;
			if(!t%prime[i]){
				phi[t*prime[i]]=phi[t]*prime[i];
				break;
			}
			else
				phi[t*prime[i]]=phi[t]*phi[prime[i]];
		}
	}
}

线性筛莫比乌斯函数,\(\mu(x)\)

思想:

1. 莫比乌斯函数只有\(0,1,-1\)三种值。
2. 对于\(x=p_1p_2p_3p_4p_5p_6...p_n\)，\(p_i\)为互不相同的质数，\(\mu(x)=(-1)^n\)
3. 其他情况都为0

const int maxn=100005;
vector < int > prime;
int mu[maxn];
bool usd[maxn];
inline void gen_mu(void){
	mu[1]=1;
	RP(t,2,maxn){
		if(!usd[t])
			prime.push_back(t),mu[t]=-1;
		RP(i,0,prime.size()-1){
                        if(prime[i]*t>maxn)
                            break;
			usd[prime[i]*t]=1;
			if(!(t%prime[i]))
				break;
			else
				mu[t*prime[i]]=-mu[t];
		}
	}
}