连通性相关

合集 - 图论(7)

1.最小生成树2024-08-132.最短路算法2024-08-13

3.连通性相关2024-08-13

4.2-sat2024-08-135.网络流2024-08-136.二分图2024-09-277.LGV 引理01-02

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连通性相关

在有向图中，$low_u$ 的定义一般指点 $u$ 能到达的最小时间戳。在无向图中，$low_u$ 的定义一般指点 $u$ 不经过它与父亲的树枝边，至多走一条非树枝边，能到达的最小时间戳。

强连通分量

强连通的定义是：有向图 $G$ 强连通是指，$G$ 中任意两个结点连通。

强连通分量（Strongly Connected Components，SCC）的定义是：极大的强连通子图。——摘自 OI Wiki

Tarjan

用 Tarjan 求强连通分量（缩点），缩点后有向图变为一个 DAG。

算法简介

参考博客

定义

如果有向图 $G$ 的每两个顶点都强连通，称 $G$ 是一个强连通图。有向非强连通图的极大强连通子图，称为强连通分量。

四条边

树枝边： dfs 搜索树上的边。

前向边：与 dfs 方向一致，从某个结点指向其某个子孙的边。

后向边：与 dfs 方向相反，从某个结点指向其某个祖先的边。（返祖边）

横叉边：从某个结点指向搜索树中的另一子树中的某结点的边。

流程

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。

搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义 $dfn(u)$ 为节点 $u$ 搜索的次序编号(时间戳)， $low(u)$ 为 $u$ 或 $u$ 的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

由定义可以得出， $low(u)=\min (low(u), low(v) )$ 。 $(u,v)$ 为树枝边， $u$ 为 $v$ 的父节点 。

• 节点 $v$ 可以到达 $low(v)$ ，节点 $u$ 为父亲，所以节点 $u$ 也可以到达 $low(v)$ 。

$low(u)=\min (low(u), dfn(v) )$ 。 $(u,v)$ 为指向栈中节点的后向边/横叉边。

• 因为此时 $v$ 还在栈中，所以 $low(v)$ 一定是 $LCA(u,v)$ 的祖先。

当结点 $u$ 搜索结束后，若 $dfn(u)=low(u)$ 时，则以 $u$ 为根的搜索子树上所有还在栈中的节点是一个强连通分量（ pop 一直到 $u$ 就行）。

• 当 $dfn(u)=low(u)$ 时：

若子树里的点还在，则 $low(v)$ 一定等于 $dfn(u)$ 。子树的所有点可以到达 $u$ ， $u$ 可以到达子树所有点。

SCC-Tarjan模板

void tarjan(int u) {
    dfn[u]=low[u]=++dfn0;
    st[++top]=u;
    for(int v : to[u]) {
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else if(!num[v]) {
            low[u]=min(low[u],low[v]);//与 dfn[v] 等价
        }
    }
    if(low[u]==dfn[u]) {
        ++cnt;
        while(st[top+1]!=u) scc[cnt].push_back(st[top]), num[st[top]]=cnt, --top;
    }
}

模板题：B3609 [图论与代数结构 701] 强连通分量

模版题2：受欢迎的牛

例题

CF427C

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pf printf
#define sf scanf
using namespace std;
const int N=1e5+7,mod=1e9+7;
int n,m;
int u,v;
vector<int> son[N];
int num; 
int c[N];
int dfn[N],low[N],scc[N]; 
int cnt,sum; 
int val[N];
ll ans,ans2=1;
int st[N],top; 
void Tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++num;
	st[++top]=u; 
	for(int i=0;i<son[u].size();i++){
		int v=son[u][i];
		if(!dfn[v]){
			Tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}else if(!scc[v]){ 
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(low[u]==dfn[u]){
		scc[u]=++cnt;
		val[cnt]=c[u];
		sum=1;
		while(st[top]!=u){
			scc[st[top]]=cnt;
			if(c[st[top]]<val[cnt]) sum=1;
			else if(c[st[top]]==val[cnt]) sum++;
			val[cnt]=min(val[cnt],c[st[top]]);
			top--;
		}
		top--;
		ans+=val[cnt];
		ans2=ans2*sum%mod;
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i];
	}
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>u>>v;
		son[u].push_back(v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i])
		Tarjan(i);
	pf("%lld %lld\n",ans,ans2);
}

Kosaraju

求一个无向图的强连通分量的方法是枚举每个点 i，如果还没有访问过点 i，就 dfs(i)，然后把 dfs 过程中的点缩到一个 SCC。

借鉴无向图的方法，可以发现在有向图上这种方法仍然正确当且仅当我们按照（假设已经缩完点的）DAG 的拓扑序反序 dfs。否则一个强连通分量将搜到另一个强连通分量，然后它们两回合在一起，显然不对。

如何找到 dfs 的正确顺序呢？我们以 1 开始进行 dfs，每个节点出栈时 push 到 st 数组（其实是栈）中，按照 st 的倒序求 SCC 就是正确的。

因为假设强连通分量 u 可以到达强连通分量 v，那么 v 会先进入 st，求 SCC 时按照倒序就会先求 v，这样求 u 时就不会搜到 v 了。

求 SCC 的方法和无向图一样。

总结：

1. dfs(1)，st 记录结点出栈顺序。
2. 按 st 的倒序 dfs，可以搜到的即为一个 SCC。

双连通分量

在一张连通的无向图中，对于两个点 $u$ 和 $v$，如果无论删去哪条边（只能删去一条）都不能使它们不连通，我们就说 $u$ 和 $v$ 边双连通。

在一张连通的无向图中，对于两个点 $u$ 和 $v$，如果无论删去哪个点（只能删去一个，且不能删 $u$ 和 $v$ 自己）都不能使它们不连通，我们就说 $u$ 和 $v$ 点双连通。

边双连通具有传递性，即，若 $x,y$ 边双连通，$y,z$ 边双连通，则 $x,z$ 边双连通。

点双连通不具有传递性，反例如下图，$A,B$ 点双连通，$B,C$ 点双连通，而 $A,C$ 不点双连通。

边双连通分量

在一张连通的无向图中，对于两个点 $u$ 和 $v$，如果无论删去哪条边（只能删去一条）都不能使它们不连通，我们就说 $u$ 和 $v$ 边双连通。

边双连通具有传递性，即，若 $x,y$ 边双连通， $x,z$ 边双连通，则 $y,z$ 边双连通。

两个点是边双连通的，当且仅当它们的图上路径中不包含桥。（如果没遍历过并且连的边不是割边就标记为同一块边双）

边双连通分量就是极大边双连通块。

无向图边双缩点后成为一棵树，所有树边是桥。

求出所有割边即可。

可以用 Tarjan。

P8436 【模板】边双连通分量

注意模板题有重边，因此 $low_u$ 的定义是不经过上一次走过的边，走至多一条非树枝边可以到达的最小时间戳。

void tarjan(int u,int la) {
	dfn[u]=low[u]=++dfn0;
	st[++top]=u;
	for(auto i : to[u]) {
		int v=i.se;
		if(!dfn[v]) {
			tarjan(v,i.fi);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}else if(i.fi!=la) {
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(low[u]==dfn[u]) {
		++cnt;
		num[u]=cnt, vec[cnt].push_back(u);
		while(st[top]!=u) num[st[top]]=cnt, vec[cnt].push_back(st[top]), --top;
		--top;
	}
}

点双连通分量

一个点可以属于多个点双。

Tarjan 求点双。

RT，黑色边为树边，红色边为返祖边。（由于是无向图，因此没有横叉边）

设 $dfn_u$ 为 $u$ 的时间戳，$low_u$ 表示点 $u$ 不经过父亲可以到达的最小时间戳。

若 $v$ 是 $u$ 的儿子，$low_v=dfn_u$，则 $u,v$ 属于同一个点双，$u$ 为该点双时间戳最小的节点，退栈加入该点双直到退掉 $v$，将 $u$ 加入点双但是不退栈 $u$。

割点和桥

割点和桥一般针对无向图，因此没有横叉边。

桥

对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。

RT，$(1,2)$ 即为该图唯一的桥。

计算桥（割边）的方法：

首先，容易知道割边一定是 DFS 树的树边。记录 DFS 树上指向 $v$ 的边，它是割边当且仅当以 $v$ 为根的子树内没有向其它子树或祖先连边。
如果 $v$ 的后代只能连回 $v$ 自己。即 $low(v) > dfn(u)$ ，则 $u-v$ 是桥。

code

代码不保证正确

void tarjan(int rt,int u,int f) {
    dfn[u]=low[u]=++cnt;
    for(int v : to[u]) {
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(rt,v,u), low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>dfn[u]) ans.push_back({u,v});
        }else if(v!=f) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
}

割点

对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。

RT，$2$ 即为该图唯一的割点。

Tarjan 求割点。

$low_u$ 表示点 $u$ 经过至多一条非树边可以到达的最小时间戳。

计算割点的方法：

1. 对于 DFS 树的树根，它是割点当且仅当它有两个及以上的子树。
2. 对于其它任意一个点，当且仅当以它为根的子树内没有向其它子树或祖先连边。因此在 dfs 过程中，如果一个点 $u$ 存在一个子节点 $v$ ，使得 $v$ 的后代只能连回 $u$ 。即 $low(v) \ge dfn(u)$ ，则 $u$ 是割点。

Code

割点和割边代码唯一的区别就是 $low_v > dfn_u$ 和 $low_v \ge dfn_u$。以及割点需要多判一个根。

void tarjan(int rt,int u,int f) {
	dfn[u]=low[u]=++cnt;
	int son=0;
	for(int v : to[u]) {
		if(!dfn[v]) {
			++son, tarjan(rt,v,u), low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u] && u!=rt && !isans[u]) isans[u]=1, ans.push_back(u);
		}else if(v!=f) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(son>=2 && u==rt) isans[u]=1, ans.push_back(u);
}

圆方树

圆方树可以用来解决将无向图按点双缩点，但是原来的点的信息仍要保留的问题。（不像强连通分量缩点有的可以直接删除圆点，仅保留强连通分量编号）

将一个无向图变为一棵树：

把每个点双建一个方点，将点双中所有点建一个圆点，与该方点相连。

RT.

圆方树中，每条链一定是由圆点、方点交错形成。

建好圆方树后，依题意在树上求解即可。

Code

点双改一点即可。（代码为外向树，建双向边关掉注释即可）

void Tarjan (int u) {
	dfn[u]=low[u]=++cnt;
	st[++top]=u;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].ne) {
		int v=e[i].to;
		if(!dfn[v]) {
			Tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(dfn[u]==low[v]) {
				tot++;
				to[u].push_back(tot);
//				to[tot].push_back(u);
				while(st[top]!=v){
					to[tot].push_back(st[top]);
//					to[st[top]].push_back(tot);
					top--;
				}
				to[tot].push_back(v);
//				to[v].push_back(tot);
				top--;
			}
		}else{
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
}

经验

演唱会

圆方树、点双。